Andrea è un astronomo e Marco un astronauta
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Andrea è un astronomo e Marco un astronauta: hanno entrambi 40 anni. Marco viene reclutato per fare un viaggio verso la stella Sirio, distante 8,6 anni luce, con un’astronave capace di andare alla velocità di 0,95 c.
Trova:
1. quanto tempo dura il viaggio per Andrea e quanto per Marco;
2. quanto vale la distanza percorsa per Andrea e quanto per Marco;
3. l’età di entrambi quando viene raggiunta la stella.
Introduzione all’Argomento:
Con la teoria della relatività si intende una branca della fisica che racchiude le teorie basate sul principio secondo il quale la forma delle leggi della fisica debba rimanere invariata al variare del sistema di riferimento. Nello studiare la relatività suddividiamo la stessa in due sotto-categorie: la relatività ristretta, presentata da Einstein con l’articolo Zur Elektrodynamik bewegter Körper, con l’intento di relazionare il principio di relatività galileiana e le equazioni delle onde elettromagnetiche in sistemi di riferimento inerziali, e la relatività generale, che estende il principio di relatività anche ai sistemi di riferimento non inerziali.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci troviamo di fronte a una situazione molto particolare. Andrea è un astronomo e Marco un astronauta; all’inizio del quesito hanno la stessa età, ma alla fine, come per magia, uno dei due risulterà più giovane. Per quanto possa sembrare strano, dal punto di vista meramente teorico tutto ciò è possibile ed è spiegabile con la dilatazione dei tempi. Hai presente il film Interstellar? Ecco, in questa straordinario kolossal il padre viaggia nello spazio a condizioni tali da farlo diventare più giovane della figlia…
Risoluzione dell’Esercizio:
Ipotizzo che Andrea e Marco si muovano in due sistemi di riferimento inerziali.
1. Andrea, che si trova sulla Terra, misura il tempo con il proprio orologio, anche se evento di partenza ed evento di arrivo sono differenti (tempo improprio).
Perciò, applicando la formula inversa della velocità ottengo:
$$\Delta t_{Andrea}=\frac{\Delta x}{v}
=\frac{8,6c}{0,95c}=9,1anni=$$
$$=9,1\times3,15\times10^7s=2,9\times10^8s$$
Se Andrea misurasse il tempo guardando l’orologio che Marco ha con sé sull’astronave, noterebbe un tempo differente (tempo proprio perché evento iniziale e finale avvengono nello stesso posto), pari a:
$$\Delta t_{Marco}=\frac{\Delta t_{Andrea}}{\gamma}
=\Delta t_{Andrea}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}
=$$
$$=2,9\times10^8s\sqrt{1-\frac{0,95^2c^2}{c^2}}
=8,9\times10^7s=$$
$$=2,8anni$$
2. Nel sistema di riferimento di Andrea, fermo sulla Terra, luogo di partenza e di arrivo sono fermi, dunque la distanza è una lunghezza propria, che vale:
$$d_{Andrea}=8,6anniluce=8,6\times10^{16}m$$
Nel sistema di riferimento di Marco, fermo sull’astronave, invece, luogo di partenza e arrivo vengono percepiti come corpi in movimento alla velocità di $0,95c$, perciò la distanza è una lunghezza impropria, che viene quindi calcolata utilizzando la formula inversa della velocità:
$$d_{Marco}=\Delta x=v\Delta t
=$$
$$=0,95c\times8,9\times10^7s=2,5\times10^{16}m$$
In alternativa è possibile calcolare $d_{Marco}$ utilizzando il coefficiente di dilatazione $\gamma$:
$$d_{Marco}=\frac{d_{Andrea}}{\gamma}
=d_{Andrea}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}
=$$
$$=8,1\times10^{16}s\sqrt{1-\frac{0,95^2c^2}{c^2}}
=2,5\times10^{16}s$$
3. Determino le età di Andrea e Marco quando l’astronave raggiungerà la stella:
$$t_{Andrea}=40anni+\Delta t_{Andrea}=$$
$$=(40+9,1)anni=49anni$$
$$t_{Marco}=40anni+\Delta t_{Marco}=$$
$$=(40+2,8)anni=43anni$$
