Un asteroide di forma simile a una sfera
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un asteroide di forma simile a una sfera, densità 1,5 g/cm3 e raggio 1 km è arrivato a 1 milione di km dalla Terra e si muove a una velocità costante di 20 km/s verso di noi. La NASA fa atterrare una sonda sull’asteroide e, per tentare di rallentarlo, ne fa partire i motori, che esercitano una forza di 6,28 × 1011 N lungo la congiungente Terra-asteroide. La forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra può essere trascurata.
1. Quanto vale la distanza percorsa dall’asteroide dopo il tentativo di rallentamento? Considera che, nell’istante in cui dovesse sfortunatamente raggiungere la Terra, l’asteroide avrebbe velocità nulla.
2. Riuscirà la sonda a fermare l’asteroide?
3. La stessa forza è applicata perpendicolarmente alla congiungente Terra-asteroide: si riuscirebbe a evitare la collisione?
Introduzione all’Argomento:
La dinamica dei corpi è un ramo della meccanica newtoniana che si occupa dello studio del moto dei corpi a partire dalle forze che lo causano o delle circostanze che lo determinano e lo modificano nel tempo e nello spazio del suo sistema di riferimento. Nella dinamica dei corpi si effettua quindi lo studio del moto, ma è bene fare una considerazione, non consideriamo il corpo come rigido, bensì come punto materiale. Di fondamentale importanza sono le tre leggi di Newton (il principio di inerzia, il principio di proporzionalità e il principio di azione e reazione) e il concetto di relatività galileiana.
Analisi dell’Esercizio:
Questo esercizio non è una semplice applicazione dei principi della dinamica. Bisogna infatti ricorrere alle equazioni dei moti studiate precedentemente (moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato). Un asteroide di forma simile a una sfera si avvicina pericolosamente alla Terra e noi dobbiamo determinare se l’intervento della NASA sarà sufficiente a salvare il nostro pianeta. Ce la faranno?
Risoluzione dell’Esercizio:
1. Calcolo la massa dell’asteroide sapendo che ha forma simile a quella di una sfera:
$$m_{asteroide}=\frac {4}{3}\pi R^3\rho
=$$
$$=\frac {4}{3}\pi \times(10^5cm)^3\times1,5\frac{g}{cm^3}
=$$
$$=6,28\times10^{15}g=6,28\times10^{12}kg$$
Determino ora la decelerazione provocata dall’accensione dei motori della sonda applicando il secondo principio della dinamica
($F=ma$):
$$a=\frac{F}{m_{asteroide}}
=$$
$$=\frac{6,28\times10^{11}N}{6,28\times10^{12}kg}
=0,1\frac{m}{s^2}$$
Determino ora la distanza percorsa dall’asteroide nel tentativo di rallentamento.
Applico la legge della velocità in un moto uniformemente decelerato per determinare il tempo impiegato per fare in modo che l’asteroide si fermi completamente ($v_0$):
$$0=v_0-at$$
esplicitando il tempo:
$$t=\frac{v_0}{a}=\frac{20\times10^3\frac{m}{s}}{0,1\frac{m}{s^2}}
=2,0\times10^5s$$
Applico ora la legge del moto uniformemente decelerato e trovo la distanza percorsa:
$$x=v_0t-\frac{1}{2}at^2
=$$
$$=20\times10^3\frac{m}{s}\times2,0\times10^5s-\frac{1}{2}\times$$
$$\times0,1\frac{m}{s^2}\times(2,0\times10^5s)^2
=2,0\times10^9m=$$
$$=2,0\times10^6km$$
2. Dato che l’asteroide dista dalla terra solamente $1,0\times10^6km$, la sonda non riuscirà a far fermare l’asteroide.
3. Ipotizziamo ora che la stessa forza venga applicata perpendicolarmente alla congiungente. Ciò significa che l’asteroide procede orizzontalmente verso la Terra con un moto rettilineo uniforme, mentre verticalmente è sottoposto ad un’accelerazione.
Determino il tempo necessario all’asteroide per percorrere la distanza che lo separa dalla Terra:
$$t=\frac{x}{v}
=\frac{1,0\times 10^9m}{20\times10^3\frac{m}{s}}
=5,0\times 10^4s$$
In questo intervallo di tempo, lo spostamento verticale è dato dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato. E’ importante ricordare che la velocità iniziale possiede solo la componente lungo la congiungente Terra-asteroide, mentre perpendicolarmente è pari a 0. Dunque:
$$y=\frac{1}{2}at^2
=$$
$$=\frac{1}{2}\times0,1\frac{m}{s^2}\times(5,0\times10^4s)^2=$$
$$=1,3\times10^8m=1,3\times10^5km$$
Dal momento che il diametro terrestre è pari circa a $1,3\times10^4km$, in questo caso si riuscirebbe ad evitare la collisione.
