Un satellite artificiale orbita intorno alla Terra
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un satellite artificiale orbita intorno alla Terra su un orbita circolare a 400 km di altitudine.
Determina:
1. l’accelerazione di gravità a cui è sottoposto il satellite;
2. la velocità orbitale;
3. il periodo di rivoluzione intorno alla Terra.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale) è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
Analizziamo la situazione: un satellite orbita intorno alla Terra. Noi dobbiamo determinare l’accelerazione a cui è sottoposto, la velocità orbitale e il suo periodo di rivoluzione attorno al nostro pianeta. Sfruttiamo innanzitutto l’uguaglianza tra forza peso e forza gravitazionale. Questa relazione ci permette infatti di andare ad esplicitare l’accelerazione gravitazionale g richiesta. Per il secondo e il terzo punto, invece, è sufficiente applicare le formule studiate, sostituire i valori e ottenere così i risultati del problema. Si tratta dunque di un quesito abbastanza articolato che richiede perciò un’ampia conoscenza dell’argomento. Sei in grado di risolverlo?
Risoluzione dell’Esercizio:
So che forza peso e forza gravitazionale coincidono, dunque:
$$F_P=F_G$$
da cui ricavo che:
$$m_sg=G\frac{m_sM_T}{d^2}$$
semplificando la massa ottengo:
$$g=G\frac{M_T}{d^2}$$
So che la distanza $d$ coincide col raggio dell’orbita ($d=r$), il quale è dato dalla somma del raggio terrestre e l’altitudine del satellite:
$$d=r=r_T + h
=$$
$$=6,372\times10^6m+0,400\times 10^6m=$$
$$=6,772\times10^6m$$
Sostituisco i valori nella formula e ottengo che:
$$g=G\frac{M_T}{d^2}
=6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times$$
$$\times\frac{5,97\times10^{24}kg}{(6,772\times10^6m)^2}
=8,68\frac{m}{s^2}$$
La velocità orbitale di un satellite è dato dalla formula:
$$v=\sqrt\frac{GM_T}{d}
=$$
$$=\sqrt\frac{6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times5,97\times10^{24}kg}{6,772\times10^6m}
=$$
$$=7,67\times10^3\frac{m}{s}$$
Dal momento che assimiliamo il moto del satellite ad un moto circolare uniforme, so che$v=\frac{2\pi r}{T}$ , da cui ricavo che:
$$T=\frac{2\pi r}{v} =$$
$$=\frac{2\pi \times6,772\times10^6m}{7,67\times10^3}=5,55\times10^3s$$
