In un autoscontro al Luna Park, Alice
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
In un autoscontro al luna park, Alice, che guida un veicolo in moto rettilineo di massa 100 kg urta in modo elastico il veicolo di Claudia, che ha massa di 125kg ed è fermo. Prima dell’urto il veicolo di Alice si muoveva verso destra con velocità di modulo 1,25 m/s e, dopo l’urto, Alice e Claudia si muovono sulla stessa retta.
a) Quali sono le velocità finali di Alice e Claudia dopo l’urto?
b) Calcola la velocità dl centro di massa del sistema.
Introduzione all’Argomento:
La quantità di moto di un corpo è una grandezza vettoriale (dotata quindi di direzione, verso e modulo) che, per definizione, è data dal prodotto tra la massa e la velocità del corpo stesso. In un qualsiasi sistema di riferimento inerziale (dove vale cioè il principio di inerzia), essa è una grandezza fisica conservativa.
Riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendo di determinare il vettore velocità dei corpi dopo l’urto (direzione, verso e modulo).
Analisi dell’Esercizio:
Ci troviamo in un autoscontro al Luna Park: un’auto urta elasticamente un’altra auto ferma. Possiamo impostare la risoluzione del quesito in due modi: il primo, più classico, prevede l’impostazione di un sistema in cui scriviamo le equazioni che rappresentano il principio di conservazione della quantità di moto e quello dell’energia cinetica; il secondo, più rapido, consiste invece nell’applicare direttamente una formula che deriva dallo svolgimento di questo sistema. Per comodità adotteremo quest’ultimo e quindi non dovremo fare altro che sostituire i valori numerici e calcolare il risultato. Per determinare la velocità del centro di massa basterà invece applicare la definizione.
Risoluzione dell’Esercizio:
Dalla legge di conservazione della quantità di moto (urto elastico) possiamo applicare la formula per determinare la velocità finale dell’autoscontro di Alice:
$$v_{a_f}=\frac{2m_cv_{c_0}+(m_a-m_c)v_{a_0}}{m_a+m_c}$$
dove $v_{c_0}$ e $v_{a_0}$ sono rispettivamente le velocità iniziali di Claudia e Alice, mentre $m_c$ e $m_a$ sono le rispettive masse.
Ricordando che Claudia è inizialmente ferma, abbiamo che:
$$v_{a_f}=\frac{0+(100kg-125kg)\times1,25\frac{m}{s}}{(100+125)kg}=$$
$$=-0,319\frac{m}{s}$$
dove il “-” indica che la velocità finale di Alice sarà diretta nel verso opposto rispetto al sistema di riferimento e dunque alla velocità iniziale.
Ripetiamo il medesimo ragionamento per calcolare la velocità finale di Claudia:
$$v_{c_f}=\frac{2m_av_{a_0}+(m_c-m_a)v_{c_0}}{m_a+m_c}=$$
$$=\frac{2\times100kg\times1,25\frac{m}{s}+0}{(100+125)kg}=1,11\frac{m}{s}$$
b) La quantità di moto del centro di massa del sistema vale:
$$p_{tot}=m_{tot}v_{CM}$$
da cui:
$$v_{cm}=\frac{p_{tot}}{m_{tot}}=\frac{m_av_{a_f}+m_cv_{c_f}}{m_a+m_c}=$$
$$=\frac{100kg\times(-0,139\frac{m}{s})+125kg\times1,11\frac{m}{s}}{(100+125)kg}$$
$$=0,56\frac{m}{s}$$
