Una sfera di materiale conduttore di raggio
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una sfera di materiale conduttore di raggio 𝑟s = 73 mm è caricata con una carica 𝑞 = 13 μC.
Determina:
a) il potenziale in un punto a distanza 𝑟1 = 40 mm dal centro della sfera;
b) il potenziale in un punto a distanza 𝑟2 = 80 mm dal centro della sfera.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci troviamo di fronte ad una sfera di materiale conduttore che possiamo assimilare a un guscio sferico. Questa osservazione è di fondamentale importanza in quanto sappiamo che in questo caso la carica si distribuisce uniformemente. Una volta scritta la formula per determinare il potenziale in funzione del raggio, distinguiamo i due casi: nel primo ci troviamo infatti all’interno del guscio, pertanto il valore da trovare sarà pari al potenziale assunto sulla superficie (il campo elettrico invece è nullo); nel secondo caso, invece, ci troviamo all’esterno, pertanto non faremo altro che applicare la formula e sostituire i valori numerici, in quanto il potenziale e il campo elettrico sono gli stessi di quelli che si avrebbero se la carica fosse posta in un solo punto al centro della sfera.
Risoluzione dell’Esercizio:
Nel caso specifico di un guscio sferico conduttore sappiamo che la carica si distribuisce uniformemente. Distinguiamo due casi:
- All’esterno del guscio il potenziale (a partire dalla superficie) il potenziale ed il campo elettrico sono gli stessi (in ogni punto dello spazio) di quelli che si avrebbero se la carica fosse posta in un solo punto al centro della sfera.
- All’interno invece il potenziale è uniforme e ha lo stesso valore assunto sulla superficie, mentre il campo elettrico è nullo.
Alla luce di ciò scriviamo:
$$V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$$
a) Sapendo che il raggio del guscio è $r_g=73mm$ e la distanza $r=40mm$, possiamo affermare che ci troviamo all’interno della sfera. Dunque:
$$V(r_1)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r_g}=$$
$$=9,0\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}\times\frac{13\mu C}{73mm}=1,60\times10^6V$$
b) Alla distanza $r_2=80mm$ ci troviamo all’esterno del guscio:
$$V(r_2)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r_2}=$$
$$=9,0\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}\times\frac{13\mu C}{80mm}=1,46\times10^6V$$
