Dalla sommità di una torre alta 20 m
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Dalla sommità di una torre alta 20 m viene lanciato un pallone con velocità di 10 m/s, formante un angolo di 30° con la linea orizzontale.
1. Rappresenta la situazione con un disegno.
2. Calcola le componenti della velocità.
3. Calcola l’altezza massima , rispetto al suolo, che raggiunge il pallone.
4. Rispetto alla base della torre, il pallone cade a distanza maggiore di 10 m?
Introduzione all’Argomento:
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica”; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, questi esercizi si rifanno alla cinematica, che consiste nell’analisi e nella descrizione quantitativa del moto a prescindere da ciò che lo determina (cosa che fa invece la dinamica), ricorrendo esclusivamente alle nozioni di spazio e tempo.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio affrontiamo uno degli argomenti che mette spesso in difficoltà gli studenti: il moto parabolico. Un pallone viene calciato dalla sommità di una torre molto alta con una certa angolazione rispetto alla linea orizzontale. Per prima cosa è estremamente importante rappresentare graficamente la situazione descritta dal quesito in quanto può darci una grande mano nell’analizzare il procedimento da seguire. Poi è fondamentale ricordarsi di scomporre il moto parabolico complessivo in due moti separati, uno verticale e uno orizzontale. Una volta fatto ciò, basta applicare le leggi orarie che abbiamo sempre utilizzato e otterremo i risultati richiesti.
Risoluzione dell’Esercizio:
Rappresento graficamente la situazione.
Determino ora le componenti della velocità sfruttando i teoremi del triangolo rettangolo:
$$v_{0_x}=v_0\cos\alpha
=10\frac{m}{s}\times\cos(30^\circ)
=8,7\frac{m}{s}$$
$$v_{0_y}=v_0\sin\alpha
=10\frac{m}{s}\times\sin(30^\circ)
=5,0\frac{m}{s}$$
So che lungo l’asse y la palla compie un moto uniformemente decelerato, quindi la legge della velocità è data da:
$$v_y=v_{0_y}+at=v_{0_y}-gt$$
Quando il pallone raggiunge l’altezza massima, significa che la velocità lungo l’asse verticale si è azzerata. Determino dunque dopo quanto tempo la palla raggiunge l’altezza massima sapendo che l’accelerazione che agisce verticalmente sulla palla è l’accelerazione di gravità (diretta verso il basso):
$$v_y=v_{0_y}-gt$$
da cui ricavo:
$$gt=v_{0_y}-v_y$$
ovvero:
$$t=\frac{v_{0_y}-v_y}{g}
=\frac{(5,0-0)\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}}
=0,51s$$
Perciò, l’altezza massima raggiunta dal pallone è di:
$$y=y_0+v_{0_y}t+\frac{1}{2}at^2$$
da cui ricavo che:
$$y=20m+5,0\frac{m}{s}\times0,51s-\frac{1}{2}\times9,8\frac{m}{s^2}\times$$
$$\times(0,51s)^2=21m$$
Per determinare la distanza a cui cade il pallone, è necessario conoscere il tempo di volo $t_{volo}$, dato dalla differenza tra l’istante in cui il pallone tocca terra e l’istante iniziale (in questo caso $t_0=0s$).
Calcolo dunque il tempo necessario affinché il pallone giunga a terra:
$$y=y_0+v_{0_y}t+\frac{1}{2}at^2$$
da cui ricavo che:
$$0=20m+5,0\frac{m}{s}t-\frac{1}{2}\times9,8\frac{m}{s^2}t^2$$
ovvero:
$$4,9\frac{m}{s^2}t^2-5,0\frac{m}{s}t-20m=0$$
Risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene un tempo pari a t=2,59s.
Dunque il tempo di volo è di $t_{volo}=t-t_0=$$(2,59-0)s=2,59s$.
Posso ora calcolare la distanza $x$ a cui cade il pallone, sapendo che orizzontalmente il corpo segue un moto rettilineo uniforme:
$$x=x_0+vt
=$$
$$=0+8,7\frac{m}{s}\times2,59s=22,5m\approx
23m$$
Quindi il pallone cade a una distanza maggiore di 10 m rispetto alla base della torre.
