Due vettori hanno lo stesso modulo
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Due vettori hanno lo stesso modulo pari a 10 unità. Il primo forma un angolo di 30° con l’asse x, il secondo un angolo di 105° con la direzione del primo.
Calcolare il vettore risultante, dare il modulo e l’angolo con l’asse x.
Introduzione all’Argomento:
I vettori sono enti matematici definiti da un modulo, una direzione e un verso. Essi sono estremamente importanti in fisica in quanto permettono di rappresentare le grandezze vettoriali (es. forze, velocità, accelerazioni, spostamenti,…); graficamente sono segmenti orientati (simili a frecce).
E’ possibile compiere diverse operazioni, tra cui somma, differenza e prodotto per un numero, ma va ricordato che non sempre queste operazioni coincidono con ciò a cui noi pensiamo. Ad esempio, la somma vettoriale non sempre coincide con la somma algebrica in quanto, oltre al valore numerico (modulo), i vettori hanno anche un verso e una direzione, le quali non possono essere trascurate. Per questo motivo bisogna imparare a scomporre i vettori lungo le rette e a calcolare le cosiddette componenti cartesiane.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vogliamo calcolare il vettore risultante dalla somma di due vettori che hanno lo stesso modulo. Dunque, il primo passo sarà quello di scomporre entrambi i vettori iniziali nelle loro rispettive componenti. Dovremo quindi sommare le componenti lungo l’asse x e lungo l’asse y, ottenendo così le componenti del vettore risultante. Applicando il teorema di Pitagora sarà poi facile ricavarne il modulo. Con la formula dell’arco-tangente troveremo invece l’angolo rispetto all’asse x.
Risoluzione dell’Esercizio:
Calcoliamo le componenti del vettore a 30° rispetto a x:
$$v_{1_x}=v\cos 30^\circ=10\cos30^\circ=8,66$$
$$v_{1_y}=v\sin30^\circ=10\sin30^\circ=5$$
Ripetiamo il procedimento per le componenti del vettore a $30+105=135^\circ$ rispetto a x:
$$v_{2_x}=v\cos 135^\circ=10\cos135^\circ=-7,07$$
$$v_{2_y}=v\sin135^\circ=10\sin135^\circ=7,07$$
Scomponiamo le componenti lungo x e y:
$$v_x=v_{1_x}+v_{2_x}=8,66-7,07=1,59$$
$$v_y=v_{1_y}+v_{2_y}=5+7,07=12,07$$
Troviamo ora il modulo del vettore risultante applicando il teorema di Pitagora:
$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{1,59^2+12,07^2}=12,17$$
Per calcolare l’angolo che il vettore risultante forma con l’asse delle x:
$$\beta=\arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=$$
$$=\arctan\left(\frac{12,07}{1,59}\right)=82,05^\circ$$
