In un plastico ferroviario un vagone
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
In un plastico ferroviario un vagone della massa di 360 g, che i muove senza attrito su un binario rettilineo alla velocità di 2,5 m/s, urta un secondo vagone della massa di 140 g, che si muoveva nel verso opposto alla velocità di 0,75 m/s. Nell’urto i due vagoni rimangono attaccati e insieme continuano la corsa, mentre il binario percorre, con attrito trascurabile, una salita inclinata di 10° rispetto all’orizzontale. Calcola la lunghezza del tratto in salita dopo il quale i vagoni si arrestano.
Introduzione all’Argomento:
La quantità di moto di un corpo è una grandezza vettoriale (dotata quindi di direzione, verso e modulo) che, per definizione, è data dal prodotto tra la massa e la velocità del corpo stesso. In un qualsiasi sistema di riferimento inerziale (dove vale cioè il principio di inerzia), essa è una grandezza fisica conservativa.
Riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendo di determinare il vettore velocità dei corpi dopo l’urto (direzione, verso e modulo).
Analisi dell’Esercizio:
In un plastico ferroviario un vagone ne urta anelasticamente un altro, attaccandosi ad esso e continuando la corsa lungo un piano inclinato. L’assenza di attrito semplifica molto la risoluzione, anche se si rende comunque necessaria la conoscenza dell’energia meccanica e del relativo principio di conservazione, oltre che dei teoremi sui triangoli rettangoli (seno, coseno e tangente). Una volta ricavata la velocità dopo l’urto bisogna infatti imporre l’uguaglianza tra energia iniziale (costituita solamente da quella cinetica) ed energia finale (composta solamente da quella potenziale gravitazionale), per poi sostituire l’altezza in funzione della lunghezza del tratto in salita. Si tratta quindi di un esercizio completo che non può essere risolto senza avere una buona panoramica dei diversi argomenti.
Risoluzione dell’Esercizio:
L’urto che avviene è un urto completamente anelastico, per cui la velocità finale dopo l’urto sarà data da:
$$v_f=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=$$
$$\frac{0,360kg\times2,5\frac{m}{s}+0,140kg\times\left(-0,75\frac{m}{s}\right)}{(0,360+0,140)kg}$$
$$=1,59\frac{m}{s}$$
Ora consideriamo ciò che avviene dopo l’urto. Per il principio di conservazione dell’energia meccanica avremo che:
$$\frac{1}{2}m_{tot}v_f^2=m_{tot}gh,(1)$$
Dove $h$ è un cateto del triangolo rettangolo OAB. Dalla goniometria ricaviamo che $h$ vale:
$$h=l\sin10^\circ,(2)$$
Dunque, sostituendo la $(2)$ nella relazione $(1)$, ricaviamo:
$$\frac{1}{2}m_{tot}v_f^2=m_{tot}gl\sin10^\circ$$
da cui:
$$l=\frac{1}{2}\frac{(m_1+m_2)v_f^2}{(m_1+m_2)g\sin10^\circ}=\frac{1}{2}\frac{v_f^2}{g\sin10^\circ}=$$
$$=\frac{\left(1,59\frac{m}{s}\right)^2}{2\times9,8\frac{m}{s^2}\times0,1736}=0,74m$$
