La rapidità di afflusso/deflusso dei visitatori di un
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
La rapidità di afflusso/deflusso dei visitatori di un padiglione espositivo nel corso di una data ora è espresso dalla legge : f(t)=n’(t), dove n( t) è il numero di persone presenti nel padiglione all’istante t. Il grafico di f( t) è rappresentato in figura.
1. In quali momenti si ha, rispettivamente, un massimo relativo e un minimo relativo del numero di persone presenti nel padiglione?
2. Se inizialmente (t = 0) erano presenti 100 visitatori nel padiglione, quante sono le persone presenti dopo 15 minuti, dopo 40 minuti e dopo un’ora?
3. Traccia un grafico probabile della funzione n(t) e stabilisci se i massimi e i minimi relativi individuati al punto a sono anche massimi e minimi assoluti.
Introduzione all’Argomento:
Le funzioni sono l’argomento cardine della matematica liceale; una volta incontrate ce le si porta appresso fino all’esame di maturità. Per definizione, una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento di un insieme (detto di partenza) uno e un solo elemento di un altro insieme (detto di arrivo). Esse godono di numerose altre regole e proprietà (proprietà riflessiva, transitivia,…) che conoscerai man mano lungo il tuo percorso.
Analisi dell’Esercizio:
L’EXPO è un evento incredibile a cui tutti vorrebbero partecipare. Purtroppo questo non è possibile poiché ogni gestore di un padiglione deve tenere sott’occhio la rapidità di afflusso/deflusso dei visitatori. In questo esercizio abbiamo la possibilità di metterci nei panni delle persone che gestiscono questi eventi andando a semplificare la situazione con dei grafici matematici.
Risoluzione dell’Esercizio:
Analizzando il grafico possiamo ottenere diverse informazioni utili, una su tutte il numero di persone che entrano/escono dal padiglione in un arco di tempo.
Possiamo infatti determinare questo dato graficamente, calcolando l’area della parte di piano sottesa dal grafico (quando il grafico è sopra l’asse x significa che stanno entrando un tot di persone al minuto e viceversa quando invece è sotto).
In particolare abbiamo che nei primi quindici minuti entrano:
$$n_1=\frac{15\times 6}{2}=45$$
Nei successivi trenta minuti escono:
$$n_2=\frac{(30+15)\times4}{2}=90$$
Mentre negli ultimi quindici minuti entrano:
$$n_3=\frac{10\times 8}{2}+\frac{5\times 4}{2}=40+10=50$$
Ipotizziamo di avere, al tempo $t_0=0s$, un numero $X$ di persone all’interno del padiglione.
Ciò significa che dopo quindici minuti le persone presenti all’interno saranno:
$$n(15)=X+45$$
Dopo 45 minuti saranno:
$$n(45)=X+45-90=X-45$$
E dopo un’ora saranno:
$$n(60)=X-45+50=X+5$$
Fatte queste considerazioni possiamo affermare che si ha un massimo relativo in corrispondenza di $t=15min$ e un minimo relativo in corrispondenza di $t=45min$.
Se il numero di persone iniziale fosse $X=100$, avremmo:
$$n(15)=100+45=145$$
$$n(45)=100-45=55$$
$$n(60)=100+5=105$$
Traccio ora il grafico probabile di $n(t)$.
Osservando $f(t)$ intuisco che il numero di persone (quindi $n(t)$) aumenta fino a che la funzione rimane sopra l’asse x, per poi diminuire nell’intervallo di tempo in cui sta sotto.
Ciò significa che per i primi 15 minuti $n(t)$ crescerà fino alla quota $n(15)=X+45$, salvo poi decrescere fino a raggiungere $n(45)=X-45$ e crescere infine nuovamente fino a $n(60)=X+5$.
Rappresento questi valori e traggo le conclusioni:
Da questa rappresentazione indicativa posso stabilire che i punti di massimo e minimo relativo trovati al punto a sono anche punti di massimo e minimo assoluto.
