n moli di un gas monoatomico ideale sono contenute
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
n moli di un gas monoatomico ideale sono contenute in un recipiente metallico di capacità molare 3R e di numeri di moli αn. Il gas segue una trasformazione reversibile adiabatica. Determinare il valore del coefficiente γ (equivalente) della trasformazione adiabatica in funzione di α (dati del problema α = 0.1; 1; 10)
Introduzione all’Argomento:
La termodinamica è quella branca della fisica che studia le trasformazioni relative al calore, alla temperatura, al lavoro e all’energia. Fondamentali nella termodinamica sono i concetti di: sistema (ossia qualunque porzione dell’universo oggetto dell’indagine; può essere aperto – scambio di energia e massa con l’ambiente – chiuso – scambio di energia con l’ambiente, ma non la massa – isolato – nessuno scambio di energia e massa con l’ambiente), ambiente, esterno al sistema e universo, costituito dal sistema e dall’ambiente.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci troviamo in un intervallo qualsiasi della trasformazione adiabatica reversibile: un certo numeri di moli di un gas monoatomico ideale sono contenute in un recipiente metallico. Dovremo dunque impostare alcune relazioni, quale, per esempio, la condizione di adiabaticità, sostituire i valori numerici e calcolare così il coefficiente della trasformazione adiabatica. Non è un quesito immediato, in quanto dobbiamo saper padroneggiare a pieno le varie formule di cui necessitiamo. Esprimiamo innanzitutto l’energia interna e il prodotto pressione-volume in funzione delle altre grandezze. Dopodiché sostituiamo le espressioni scritte all’interno della condizione di adiabaticità. A questo punto semplifichiamo la formula risolutiva in modo da poter sostituire i diversi valori di alfa.
Risoluzione dell’Esercizio:
Ci troviamo in un intervallo qualsiasi della trasformazione adiabatica reversibile. Impostiamo dunque:
$$\Delta U=n\frac{3}{2}R\Delta T+\alpha n3R\Delta T$$
e:
$$p\Delta V=nRT\frac{\Delta V}{V}$$
Imponiamo ora la condizione di adiabaticità:
$$\Delta U+p\Delta V=0$$
da cui:
$$n\frac{3}{2}R\Delta T+\alpha n3R\Delta T+nRT\frac{\Delta V}{V}=0$$
Semplificando l’espressione precedente otteniamo:
$$\frac{3+2\alpha}{2}\frac{\Delta T}{T}=-\frac{\Delta V}{V}$$
dunque:
$$VT^{\frac{3+6\alpha}{2}}=cost$$
$$VT^{\frac{2}{3+6\alpha}}=cost$$
Imponendo:
$$\gamma-1=\frac{2}{3+6\alpha}$$
Per $\alpha=0,1$:
$$\gamma=1,55$$
Per $\alpha=1$:
$$\gamma=1,22$$
Per $\alpha=10$:
$$\gamma=1,03$$
