Una fontana ha un tubo di sezione 5.0 cm2
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una fontana ha un tubo di sezione 5.0 cm2 che fa zampillare l’acqua verso l’alto a un’altezza di 2,0 m. Vogliamo farla zampillare a 4,0 m restringendo il tubo con una strozzatura. Calcola quale sezione deve avere la strozzatura.
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
Abbiamo una fontana che ha un tubo di sezione tale da far zampillare l’acqua fino a un’altezza di 2 metri. Per raddoppiare questa altezza decidiamo di restringere la sezione in modo tale da far aumentare la velocità del liquido presente all’interno. La risoluzione del quesito è però tutt’altro che scontata; dovremo infatti ricorrere alle nostre conoscenze riguardanti i moti rettilinei (uniforme e/o uniformemente accelerato) per poi concludere applicando la formula di continuità. Tutto chiaro?
Risoluzione dell’Esercizio:
Gli zampilli d’acqua si muovono con un moto uniformemente decelerato. Essi escono infatti dal tubo con una certa velocità, la quale si azzera una volta raggiunta l’altezza massima.
Impongo l’origine nel punto da cui esce lo zampillo.
Scrivo dunque le leggi che regolano il moto della fontana con sezione normale:
$$\begin{cases}
y_1=v_{0_1}t-\frac{1}{2}gt^2\\\\v_1=v_{0_1}-gt
\end{cases}$$
quando lo zampillo raggiunge l’altezza di $2,0m$ si ha:
$$\begin{cases}
y_1=v_{0_1}t-\frac{1}{2}gt^2\\\\0=v_{0_1}-gt
\end{cases}$$
da cui ricavo:
$$\begin{equation}\begin{cases}
y_1=v_{0_1}t-\frac{1}{2}gt^2\\\\gt=v_{0_1}
\end{cases}
\end{equation}$$
Esplicito il tempo nella seconda equazione ($t=\frac{v_{0_1}}{g}$) e lo sostituisco nella prima:
$$y_1=v_{0_1}\frac{v_{0_1}}{g}-\frac{1}{2}g\frac{v_{0_1}^2}{g^2}$$
da cui:
$$y_1=\frac{v_{0_1}^2}{g}-\frac{1}{2}\frac{v_{0_1}^2}{g}$$
e infine:
$$y_1=\frac{1}{2}\frac{v_{0_1}^2}{g}$$
Esplicito quindi la velocità iniziale:
$$v_{0_1}=\sqrt{2gy_1}=$$
$$=\sqrt{2\times9,8\frac{m}{s^2}\times2,0m}=6,26\frac{m}{s}$$
Ripeto lo stesso ragionamento per la fontanella con la strozzatura:
$$v_{0_2}=\sqrt{2gy_2}=$$
$$=\sqrt{2\times9,8\frac{m}{s^2}\times4,0m}=8,86\frac{m}{s}$$
So che, se il liquido è incomprimibile, vale l’equazione di continuità, ovvero:
$$A_1v_1=A_2v_2$$
e quindi:
$$A_2=\frac{A_1v_1}{v_2}
=$$
$$=\frac{5,0cm^2\times6,26\frac{m}{s}}{8,86\frac{m}{s}}=3,5cm^2$$