Un pianeta di massa Mp = 2 x 10^28 kg si muove
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un pianeta di massa Mp = 2 x 10^28 kg si muove attorno a una stella di massa sconosciuta, su un’orbita il cui semiasse maggiore è a = 9,0 UA (1 UA = 1,5 x 10^11) m, con periodo T=20 anni.
Trovare il raggio della stella, sapendo che l’intensità dell’accelerazione gravitazionale gS sulla superficie della stella è 54 volte quella del nostro pianeta.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
Questo esercizio si presenta come un tentativo di determinare il raggio di una stella con accelerazione di gravità 54 volte più intensa di quella terrestre. Attorno a questa stella gira un pianeta di massa Mp = 2 x 10^28 kg. In realtà la sua risoluzione è alquanto semplice, basta infatti applicare la legge di Keplero, esplicitare la massa della stella e sostituirla nella relazione che definisce l’accelerazione gravitazionale. A questo punto si procede con l’esplicitare il raggio, sostituire i valori numerici e ottenere il risultato richiesto. E’ importante ricordare di convertire le grandezze in unità di misura più consone allo svolgimento dell’esercizio.
Risoluzione dell’Esercizio:
Converto il periodo $T$ in secondi: $T=20anni=6,307\times10^8s$.
So che la terza legge di Keplero sancisce la seguente relazione:
$$\frac{a^3}{T^2}
=
\frac{GM_s}{4\pi ^2}$$
Dove $a$ è il semiasse maggiore dell’orbita, $T$ è il periodo di rivoluzione, $G$ è la costante di gravitazione universale e $M$ è la massa della stella attorno a cui gira il corpo da analizzare.
Posso quindi esplicitare la massa della stella:
$$M_s=\frac{4a^3\pi^2}{GT^2}$$
Dalla teoria so che l’accelerazione di gravità di un corpo celeste è data da:
$$g_{s}=\frac{GM_{s}}{R_s^2}$$
Sapendo che $g_s=54g_{terra}$, posso ricavare il raggio della stella:
$$R_s=\sqrt{\frac{GM_s}{g_s}}=
\sqrt{\frac{G\frac{4a^3\pi^2}{GT^2}}{54g}}=
\sqrt{\frac{4a^3\pi^2}{54gT^2}}
=$$
$$=\sqrt{…}=6,8\times 10^8m$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)