Esercizio

MATERIA – FISICA

Un satellite per le telecomunicazioni percorre

Un satellite per le telecomunicazioni percorre

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Un satellite per le telecomunicazioni percorre un’orbita circolare a un’altitudine di 1,9 x 10^7 m dalla superficie terreste. Consideriamo la massa della Terra come se fosse concentrata nel suo centro.
1. In quanto tempo percorre la sua orbita?
2. A che velocità si muove?

Introduzione all’Argomento:

La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio abbiamo un satellite per le telecomunicazioni che percorre un’orbita circolare ad una certa altitudine. Per determinare il tempo impiegato dal corpo per descrivere l’intera orbita, ovvero il suo periodo di rivoluzione attorno alla Terra, è sufficiente applicare la terza legge di Keplero. Dobbiamo tenere però in considerazione che il semiasse maggiore è dato dalla somma tra il raggio terrestre e l’altitudine a cui si trova il satellite. Per calcolare invece la velocità con cui si muove il satellite è necessario utilizzare la relativa formula, sostituire i valori numerici e ottenere così il risultato.

Risoluzione dell’Esercizio:

Determino il tempo impiegato dal satellite per percorrere la sua orbita sfruttando la relazione definita dalla terza legge di Keplero:

$$\frac{a^3}{T^2}
=
\frac{GM_T}{4\pi ^2}$$

Da cui ricavo che:

$$T^2=\frac{4a^3\pi^2}{GM_T}$$

ovvero:

$$T=\sqrt{\frac{4a^3\pi^2}{GM_T}}$$

Sapendo che il semiasse maggiore $a$ è dato dalla somma tra il raggio terrestre e l’altitudine a cui si trova il satellite, posso riscrivere la formula come:

$$T=\sqrt{\frac{4(r_T+h)^3\pi^2}{GM_T}}
=
\sqrt{…}=4,0\times10^4s$$

(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)

Per determinare la velocità del satellite mi rifaccio invece alla relativa formula:

$$v=\sqrt{\frac{GM_T}{r_T+h}}
=\sqrt{…}= 3,9\times 10^3\frac{m}{s}$$

(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)

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