Alcune analisi del sangue prevedono la determinazione
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Alcune analisi del sangue prevedono la determinazione della velocità con cui i globuli rossi si separano dal plasma depositandosi sul fondo di una provetta o contenitore graduato(sedimentazione). I globuli rossi possono essere considerati delle sferette di raggio 2,0 x 10^-4cm e densità ds=1300 kg/m3. La densità del plasma è dp = 1030 kg/m3 e il suo coefficiente di viscosità è 1,65 x 10^-3 Pa s. Calcola:
1. La velocità limite di sedimentazione dei globuli rossi;
2. Quanto tempo deve trascorrere perché i globuli rossi percorrano in sedimentazione uno spessore pari a 4 cm;
3. Quanto tempo occorrerà, per la stessa sedimentazione, ponendo la provetta in una centrifuga la cui accelerazione è 10^3 g.
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vediamo come applicare le formule e i concetti che abbiamo studiato al corpo umano. Esistono infatti alcune analisi del sangue che prevedono la determinazione della velocità con cui i globuli rossi si separano dal plasma. Assimilando questi elementi a delle sfere, possiamo applicare la legge di Stokes per determinarne la velocità limite di sedimentazione tenendo però conto dell’azione della spinta di Archimede che si oppone al peso (punto 1). Per i successivi due punti, invece, è sufficiente ricordare la definizione di velocità, esplicitare il tempo, sostituire i valori numerici e ottenere il risultato richiesto.
Risoluzione dell’Esercizio:
Dalla teoria so che solitamente per determinare la velocità limite di caduta di una sfera in un fluido è sufficiente applicare la seguente formula:
$$v=\frac{mg}{6\pi\eta r}=\frac{d_sVg}{6\pi\eta r}
=$$
$$=\frac{d_s\times \frac{4}{3}\pi r^3g}{6\pi\eta r}=
\frac{2d_s r^2g}{9\eta}$$
In questo caso, però, la densità dei globuli rossi è confrontabile con quella del fluido attraverso cui cade. Perciò diventa fondamentale tenere in considerazione l’azione della spinta di Archimede che si oppone al peso della sfera. So che, la forza peso è data da:
$$F_p=mg=d_sVg=d_s\times \frac{4}{3}\pi r^3g$$
Mentre la spinta di Archimede si determina come:
$$F_A=d_pVg=d_p\times \frac{4}{3}\pi r^3g$$
La forza totale che stiamo prendendo in esame è perciò pari al peso diminuito della forza di attrito e della spinta di Archimede:
$$F_{tot}=F_p-F_v-F_A$$
Da ciò, tramite opportuni calcoli che per semplicità non riportiamo, possiamo determinare che la velocità limite è data dalla seguente formula:
$$v=\frac{2(d_s-d_p)gr^2}{9\eta}=$$
$$\frac{2(1300-1030)\frac{kg}{m^3}\times9,8\frac{m}{s^2}(2\times10^{-6}m)^2}{9\times1,65\times10^{-3}Pa\times s}$$
$$=1,4\times10^{-6}\frac{m}{s}$$
Data la velocità di sedimentazione posso determinare il tempo necessario affinché i globuli rossi percorrano in sedimentazione uno spessore pari a 4 cm:
$$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$
da cui ricavo che:
$$\Delta t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{0,04m}{1,4\times10^{-6}\frac{m}{s}}=$$
$$=2,9\times10^4s=\frac{2,9\times10^4}{3,6\times10^3}h\approx8h$$
Per risolvere l’ultimo punto sfrutto il suggerimento che mi viene fornito dal testo: “sostituisci all’accelerazione di gravità, […], l’accelerazione della centrifuga”. Ripeto perciò gli stessi identici passaggi effettuati nei punti precedenti sostituendo $g$ con$10g$ , da cui ricavo che:
$$v_3=\frac{2(d_s-d_p)\times10^3gr^2}{9\eta}=10^3v$$
Perciò:
$$\Delta t_3=\frac{\Delta x}{v_3}=\frac{\Delta x}{10^3v}=\frac{\Delta t}{10^3}
=$$
$$=\frac{2,9\times10^4s}{10^3}=2,9\times10s=29s$$
