Un blocco di legno di 1.25 kg ha una palla di ferro
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un blocco di legno di 1.25 kg ha una palla di ferro, di raggio 1,22 cm, incollata su una sua faccia.
1. Se il blocco galleggia nell’acqua in modo che la palla di ferro si trovi in alto e sia asciutta, qual è il volume della parte di legno immersa?
2. Se il blocco viene rovesciato, in modo che la palla di ferro sia completamente immersa nell’acqua, diminuisce o resta lo stesso?
3. Calcola il volume della parte di legno immersa quando il blocco è rovesciato.
Introduzione all’Argomento:
L’equilibrio dei fluidi costituisce una parte fondamentale del loro studio. A differenza dei solidi, un fluido si dice in equilibrio se i moti microscopici delle sue molecole non comportano un movimento d’insieme (ovvero se è in quiete nel suo complesso). Importante è poi precisare che essi non possono rimanere in equilibrio in caso di azione di una forza parallela alla loro superficie, mentre possono farlo qualora le forze siano perpendicolari ad essa. In questo caso le forze che agiscono sul fluido vi esercitano una pressione (grandezza scalare che è misura della forza esercitata su un’unità di area).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo un blocco di legno di 1.25 kg con un palla di ferro incorporata. Il blocco viene messo in acqua e ci viene chiesto di determinare la porzione immersa al variare della situazione. Nel primo caso, in cui la palla di ferro si trova in alto, ci basta andare ad applicare la relazione di equilibrio (spinta di Archimede = forza peso) e risolvere rispetto al volume immerso. Nel secondo caso (la palla di ferro è immersa), invece, per ottenere la parte di legno sott’acqua dobbiamo ripetere i passaggi precedenti e togliere poi il volume della sfera di ferro.
Risoluzione dell’Esercizio:
Applico il principio di Archimede, sapendo che se un blocco galleggia significa che la spinta di Archimede controbilancia la forza peso complessiva:
$$d_aV_ag=d_lV_lg+d_{fe}\frac{4}{3}\pi r^3g$$
Sapendo che $m_l=d_lV_l$ (per definizione di densità) e semplificando $g$ ottengo:
$$d_aV_a=m_l+d_{fe}\frac{4}{3}\pi r^3$$
da cui ricavo il volume immerso nell’acqua:
$$V_a=\frac{m_l+d_{fe}\frac{4}{3}\pi r^3}{d_a}=$$
$$=
\frac{1,25kg+7874\frac{kg}{m^3}\times\frac{4}{3}\pi\times(0,0122m)^3}{1000\frac{kg}{m^3}}$$
$$=1,31\times10^{-3}m^3$$
A rigor di logica, se il blocco viene rovesciato in modo che la palla di ferro risulti completamente immersa, la parte di legno dovrebbe diminuire. Verifichiamo ora questa osservazione coi calcoli.
Applico nuovamente il principio di Archimede:
$$d_aV_{imm}g=d_lV_lg+d_{fe}\frac{4}{3}\pi r^3g$$
Analogamente ai passaggi fatti prima ottengo che:
$$V_{imm}=\frac{m_l+d_{fe}\frac{4}{3}\pi r^3}{d_a}=$$
$$=
\frac{1,25kg+7874\frac{kg}{m^3}\times\frac{4}{3}\pi\times(0,0122m)^3}{1000\frac{kg}{m^3}}$$
$$=1,31\times10^{-3}m^3$$
La differenza è che in questo secondo caso il volume immerso comprende il volume della sfera di ferro. Dunque, per determinare la porzione di legno in acqua, dobbiamo procedere per differenza:
$$V_{imm}=V_{fe}+V_{l_{imm}}$$
da cui:
$$V_{l_{imm}}=V_{imm}-V_{fe}=V_{imm}-\frac{4}{3}\pi r^3=$$
$$=1,31\times10^{-3}m^3-\frac{4}{3}\pi\times(0,0122m)^3=$$
$$=1,30\times10^{-3}m^3$$
La nostra ipotesi risulta confermata, la porzione di legno immersa del secondo caso è inferiore a quella del primo.
