Un blocco di legno galleggia sull’acqua contenuta
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un blocco di legno galleggia sull’acqua contenuta in un recipiente. Uno strato d’olio viene poi versato sull’acqua, fino a ricoprire il blocco, come mostrato in figura.
1. Quando il blocco è ricoperto dall’olio, il volume di legno immerso nell’acqua è maggiore, minore o uguale a quello precedente?
2. Se prima di aggiungere l’olio, il 90% del blocco di legno era immerso, qual è la frazione immersa nel caso in cui l’olio che lo ricopre abbia una densità di 875 kg/m3?
Introduzione all’Argomento:
L’equilibrio dei fluidi costituisce una parte fondamentale del loro studio. A differenza dei solidi, un fluido si dice in equilibrio se i moti microscopici delle sue molecole non comportano un movimento d’insieme (ovvero se è in quiete nel suo complesso). Importante è poi precisare che essi non possono rimanere in equilibrio in caso di azione di una forza parallela alla loro superficie, mentre possono farlo qualora le forze siano perpendicolari ad essa. In questo caso le forze che agiscono sul fluido vi esercitano una pressione (grandezza scalare che è misura della forza esercitata su un’unità di area).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo un blocco di legno che galleggia sull’acqua contenuta in un recipiente. Ad un certo punto viene introdotto tanto olio da ricoprire il blocco. Questa azione modifica le condizioni di equilibrio del sistema determinando una diminuzione della porzione di legno immersa nell’acqua (punto 1). Applicando il principio di Archimede relativo ai due liquidi sul blocco, otteniamo infatti una relazione dalla quale possiamo determinare il rapporto tra volume immerso e volume totale del blocco stesso. Tramite opportune sostituzioni possiamo quindi calcolare quanto richiesto e affermare con certezza che l’ipotesi fatta al punto 1 è corretta.
Risoluzione dell’Esercizio:
Innanzitutto ricavo la formula che mi permette di determinare la percentuale di volume immerso in presenza di due liquidi immiscibili. Se il corpo galleggia significa che la somma delle forze di Archimede che agiscono sul copro devono essere pari al peso del blocco stesso (la spinta di Archimede generata dall’olio andrà a sostituire parzialmente quella dell’acqua, dunque questa sarà minore rispetto all’inizio e, di conseguenza, sarà minore il volume immerso).
Scrivo la condizione appena descritta:
$$F_{a_{acqua}}+F_{a_{olio}}=F_{peso}$$
da cui:
$$d_aV_ag+d_oV_og=d_bV_bg$$
So che il volume di olio spostato è pari al volume del blocco diminuito della parte immersa in acqua: $V_o=V_b-V_a$. Semplificando $g$ e sostituendo la relazione appena definita ottengo:
$$d_aV_a+d_o(V_b-V_a)=d_bV_b$$
Svolgendo i calcoli ottengo:
$$V_a(d_a-d_b)=V_b(d_b-d_o)$$
Posso dunque ricavare il rapporto tra volume immerso in acqua e volume totale del blocco:
$$\frac{V_a}{V_b}=\frac{d_b-d_o}{d_a-d_b} (1)$$
Per risolvere l’esercizio necessito di determinare il valore della densità del blocco di legno. Prima di aggiungere l’olio la forza di Archimede esercitata dall’acqua controbilanciava la forza peso; tenendo conto del fatto che, in questa situazione, $V_{a_{iniziale}}=\frac{90}{100}V_b$, ricavo dunque che:
$$d_a\frac{90}{100}V_bg=d_bV_bg$$
da cui:
$$d_b=\frac{90}{100}d_a=\frac{90}{100}\times1000\frac{kg}{m^3}=900\frac{kg}{m^3}$$
Ora che ho tutti i valori che mi servono, li sostituisco nella formula (1):
$$\frac{V_a}{V_b}=\frac{900\frac{kg}{m^3}-875\frac{kg}{m^3}}{1000\frac{kg}{m^3}-875\frac{kg}{m^3}}=0,2= 20\%$$
Il risultato ci dice che solo il 20% del blocco è immerso in acqua; ciò conferma l’ipotesi che avevamo fatto per la risoluzione del punto 1.
