Un pendolo è formato da una sferetta
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un pendolo è formato da una sferetta di massa M = 400 g attaccata ad un filo lungo l = 1,6 m.Una massa m di 200 g poggia in quiete su una superficie orizzontale priva di attrito. Il pendolo viene fatto partire da fermo con il filo inclinato che forma un angolo θ = 50 con la verticale.Una volta che il pendolo viene lasciato libero di muoversi, la sferetta compie un urto completamente inelastico nel punto pi basso della sua traiettoria con la massa m. Determinare:
1. La velocità della sferetta prima dell’urto
2. L’energia meccanica persa dal pendolo a seguito dell’urto
3. L’altezza massima raggiunta dal pendolo dopo l’urto.
Introduzione all’Argomento:
La quantità di moto di un corpo è una grandezza vettoriale (dotata quindi di direzione, verso e modulo) che, per definizione, è data dal prodotto tra la massa e la velocità del corpo stesso. In un qualsiasi sistema di riferimento inerziale (dove vale cioè il principio di inerzia), essa è una grandezza fisica conservativa. Riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendo di determinare il vettore velocità dei corpi dopo l’urto (direzione, verso e modulo), e nello studio del momento angolare (o momento della quantità di moto).
Analisi dell’Esercizio:
Questo esercizio è alquanto interessante. Abbiamo infatti un pendolo che è formato da una sferetta attaccata ad un filo e una massa che poggia in quiete su una superficie orizzontale priva di attrito. La risoluzione dell’intero problema si basa sulla conoscenza del principio di conservazione dell’energia meccanica e della teoria degli urti. Detto ciò, dobbiamo andare a distinguere le situazioni relative ai tre punti del quesito e per ognuna di esse determinare le velocità e le rispettive energie cinetiche e potenziali. Sostituendo i valori numerici possiamo ottenere quel che ci viene richiesto.
Risoluzione dell’Esercizio:
Rappresento graficamente la situazione.
Impongo la quota 0 sulla superficie orizzontale.
Determino la velocità della sferetta prima dell’urto applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica sapendo che essa parte da ferma:
$$U_0=E_{C_f}$$
da cui:
$$Mgh_0=\frac{1}{2}Mv_f^2$$
Determino l’altezza iniziale per differenza:
$$h_0=l-l_1=l-l\cos\theta=l(1-\cos\theta)=$$
$$=
1,6m(1-\cos 50^\circ)=0,57m$$
Ricavo ora la velocità prima dell’urto:
$$v_f=\sqrt{\frac{2Mgh_0}{M}}=\sqrt{2gh_0}
=$$
$$=\sqrt{2\times 9,8\frac{m}{s^2}\times0,57m}=3,3\frac{m}{s}$$
Sapendo che la sfera di massa $m$ è ferma e che l’urto tra le due sfere è completamente anelastico, posso imporre la conservazione della quantità di moto e determinare la velocità dopo l’urto $v_d$:
$$Mv_f=(M+m)v_d$$
da cui:
$$v_d=\frac{Mv_f}{M+m}=\frac{0,4 kg\times3,3\frac{m}{s}}{0,4kg+0,2kg}=2,2\frac{m}{s}$$
Posso dunque ora determinare l’energia meccanica dopo l’urto, sapendo che, anche in questo caso, ci troviamo a quota 0:
$$E_{M_d}=E_{C_d}=\frac{1}{2}(M+m)v_d^2$$
Dal testo so che $M=2m$, perciò:
$$E_{M_d}=\frac{1}{2}(M+m)v_d^2=\frac{3}{2}mv_d^2$$
Calcolo quindi l’energia persa con l’urto:
$$E_{M_f}-E_{M_d}=\frac{1}{2}Mv_f^2-\frac{1}{2}(M+m)v_d^2=$$
$$=\frac{1}{2}(Mv_f^2-3mv_d^2)
=\frac{1}{2}(0,4kg\times(3,3\frac{m}{s})^2$$
$$-3\times0,2kg\times(2,2\frac{m}{s})^2)=0,74J$$
Determino infine l’altezza massima raggiunta dal pendolo dopo l’urto applicando nuovamente il principio di conservazione dell’energia meccanica:
$$U_f=E_{C_d}$$
da cui:
$$(M+m)gh_f=\frac{1}{2}(M+m)v_d^2$$
ovvero:
$$h_f=\frac{v_d^2}{2g}=\frac{(2,2\frac{m}{s}^2)}{2\times9,8\frac{m}{s^2}}=0,25m$$
