Un piccolo sasso di massa 100 g
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un piccolo sasso di massa 100 g viene lanciato a velocità v0 = 20 m/s in direzione orizzontale, e si conficca contro una scatola di polistirolo di massa M = 1,9 kg. La scatola poggia su un piano orizzontale privo di attrito ed agganciata a una molla di costante elastica k. La stessa molla, posta verticalmente e con una massa mp = 1,0 kg agganciata alla sua estremità libera, sarebbe compressa di Δy = 19,6 cm. Di quanto viene compressa la molla dopo che il sasso si conficcato nella scatola? Trascura l’attrito dell’aria.
Introduzione all’Argomento:
La quantità di moto di un corpo è una grandezza vettoriale (dotata quindi di direzione, verso e modulo) che, per definizione, è data dal prodotto tra la massa e la velocità del corpo stesso. In un qualsiasi sistema di riferimento inerziale (dove vale cioè il principio di inerzia), essa è una grandezza fisica conservativa. Riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendo di determinare il vettore velocità dei corpi dopo l’urto (direzione, verso e modulo), e nello studio del momento angolare (o momento della quantità di moto).
Analisi dell’Esercizio:
Questo esercizio è abbastanza articolato: abbiamo un piccolo sasso di massa 100 g che si muove ad una certa velocità e che impatta anelasticamente una scatola di polistirolo posta sopra una molla. Per risolvere il quesito dobbiamo rifarci alla teoria degli urti e al principio di conservazione dell’energia meccanica (energia cinetica + energie potenziali). Prima di scrivere le relazioni corrispondenti è però essenziale determinare la costante elastica della molla facendo riferimento al caso descritto nella seconda parte del testo ((“La stessa molla, posta verticalmente e con una massa …”). Superato questo ostacolo, è tutto in discesa.
Risoluzione dell’Esercizio:
Innanzitutto determino la costante elastica della molla rifacendomi al caso descritto nella seconda parte del quesito (“La stessa molla, posta verticalmente e con una massa $m_p = 1,0 kg$ agganciata alla sua estremità libera, sarebbe compressa di Δy = 19,6 cm”).
In questa situazione vi sarebbe una compressione dovuta all’azione della forza peso, pertanto avremmo:
$$F_{el}=F_p$$
da cui:
$$kx=mg$$
ovvero:
$$k=\frac{m_pg}{x}=\frac{1,0kg\times9,8\frac{m}{s^2}}{0,196m}=50\frac{N}{m}$$
Posso determinare ora la velocità del sistema dopo l’urto, sapendo che quest’ultimo è completamente anelastico:
$$mv_0=(m+M)v$$
da cui:
$$v=\frac{mv_0}{m+M}=\frac{0,1kg\times20\frac{m}{s}}{(0,1+1,9)kg}=1\frac{m}{s}$$
Sfrutto infine la conservazione dell’energia meccanica del sistema bersaglio-proiettile-molla per determinare la compressione della molla dopo l’urto:
$$E_{M_0}=E_{M_f}$$
da cui:
$$\frac{1}{2}(m+M)v^2=\frac{1}{2}kx^2$$
Esplicitando $x$:
$$x=\sqrt{\frac{(m+M)v^2}{k}}=$$
$$=\sqrt{\frac{(0,1+1,9)kg\times(1\frac{m}{s})^2}{50\frac{N}{m}}}=$$
$$=0,2m=20cm$$