La luna nella sua orbita ellittica
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
La Luna nella sua orbita ellittica, passa da un punto che dista 3,6 x 10^5 km dalla terra (perigeo), a un punto che dista 4,06 x 10^5 km (apogeo).
1. Calcola il lavoro che compie la forza gravitazionale terrestre nel passaggio tra perigeo e apogeo.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio dobbiamo considerare la Luna. Essa, nella sua orbita ellittica, passa da un punto chiamato perigeo a uno chiamato apogeo. Il lavoro compiuto dal satellite per compiere questo spostamento è dunque facilmente determinabile ricorrendo alle conoscenze che abbiamo acquisito negli anni precedenti. Sappiamo infatti che il lavoro di un corpo è pari all’opposto della variazione dell’energia potenziale gravitazionale del corpo stesso. Da questa osservazione è perciò facile intuire che, per risolvere il quesito, sarà sufficiente applicare le formule dell’energia potenziale. Dovremo ovviamente distinguere il caso in cui la Luna si trova in perigeo da quello in apogeo, ma per il resto non vi sono ulteriori complicanze. Si tratta dunque di un esercizio alla portata di tutti, anche se presuppone una buona preparazione su più argomenti.
Risoluzione dell’Esercizio:
Da studi precedenti so che posso esprimere il lavoro compiuto da un corpo come variazione della sua energia potenziale gravitazionale nel seguente modo:
$$L=-\Delta U=U_0-U_f$$
Determino l’energia potenziale gravitazionale della Luna in perigeo ($U_0$) e apogeo ($U_f$):
$$U_0=-G\frac{M_LM_T}{r_p}$$
$$U_f=-G\frac{M_LM_T}{r_a}$$
Perciò:
$$L=-G\frac{M_LM_T}{r_p}-\left(-G\frac{M_LM_T}{r_a}\right)=$$
$$-GM_LM_T\left(\frac{1}{r_p}-\frac{1}{r_a}\right)=$$
$$=-6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times0,0735\times10^{24}kg $$
$$\times5,972\times10^{24}kg\times\Biggl(\frac{1}{3,6\times10^8m}$$
$$-\frac{1}{4,06\times10^8m}\Biggr)=-9,2\times10^{27}J$$
Se si volesse essere più precisi, al denominatore bisognerebbe considerare anche il raggio terrestre.
Svolgendo i calcoli otterremo un risultato analogo (poiché esso è estremamente più piccolo rispetto alla distanza tra la terra e la luna), pari a $L=-8,8\times10^{27}J$
