Durante una partita di hockey a un disco di massa
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Durante una partita di hockey, a un disco di massa 0,12 kg viene fornita una velocità iniziale v0 = 5,3 m/s.
1. Se il coefficiente di attrito dinamico fra il ghiaccio e il disco 0,11, quale distanza d percorrerà il disco prima di fermarsi?
2. Se la massa del disco viene raddoppiata, la forza di attrito Fd esercitata sul disco aumenta, diminuisce o resta la stessa? Giustifica la risposta.
3. La distanza necessaria per fermarsi aumenta, diminuisce o rimane la stessa quando la massa del disco viene raddoppiata? Giustifica la risposta.
Introduzione all’Argomento:
La dinamica dei corpi è un ramo della meccanica newtoniana che si occupa dello studio del moto dei corpi a partire dalle forze che lo causano o delle circostanze che lo determinano e lo modificano nel tempo e nello spazio del suo sistema di riferimento. Nella dinamica dei corpi si effettua quindi lo studio del moto, ma è bene fare una considerazione, non consideriamo il corpo come rigido, bensì come punto materiale. Di fondamentale importanza sono le tre leggi di Newton (il principio di inerzia, il principio di proporzionalità e il principio di azione e reazione) e il concetto di relatività galileiana.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci troviamo in una situazione particolare: “Durante una partita di hockey, a un disco di massa 0,12 kg viene fornita una certa velocità”. Conoscendo il coefficiente di attrito dinamico fra il ghiaccio e il disco e applicando il secondo principio della dinamica (per determinare l’accelerazione del disco) è possibile calcolare la distanza che esso percorrerà prima di fermarsi. Analizzando le formule che abbiamo utilizzato possiamo facilmente dedurre che aumentando la massa, la forza di attrito aumenterà di conseguenza (vi è un rapporto di proporzionalità diretta), mentre la distanza necessaria per fermarsi rimarrà invariata (non vi è alcun rapporto di proporzionalità con la massa).
Risoluzione dell’Esercizio:
Applico il secondo principio della dinamica tenendo in considerazione che sul disco agisce solamente la forza di attrito che si oppone al moto:
$$F_d=mg\mu_d=ma$$
da cui ricavo che:
$$a=g\mu_d$$
So che il moto con cui si muove il disco è uniformemente decelerato, perciò posso applicare la legge della velocità per determinare l’intervallo di tempo necessario per farlo fermare ($v=0$):
$$v=v_0-at$$
da cui:
$$t=\frac{v-v_0}{-a}=\frac{0-v_0}{-g\mu_d}=$$
$$=\frac{-5,3\frac{m}{s}}{-9,81\frac{m}{s^2}\times0,11}=4,91s$$
Sostituisco il valore trovato nella legge oraria al fine di determinare la distanza richiesta:
$$d=v_0t-\frac{1}{2}at^2=$$
$$=5,3\frac{m}{s}\times 4,91s-\frac{1}{2}9,81\frac{m}{s^2}\times0,11\times$$
$$\times(4,91s)^2=13m$$
Se la massa del disco viene raddoppiata, la forza di attrito esercitata sul disco aumenta in quanto essa è direttamente proporzionale a $m$ ($F_d=mg\mu_d$), in particolare diventerebbe anch’essa il doppio ($F_{d_2}=2mg\mu_d=2F_d$).
La distanza necessaria per fermarsi invece rimarrebbe la medesima in quanto essa non dipende direttamente dalla massa. Infatti avremmo che:
$$2g\mu_d=2ma$$
da cui:
$$a=g\mu_d$$
tramite cui otteniamo che:
$$t=\frac{-v_0}{-a}=\frac{v_0}{g\mu_d}$$
sostituendo nella legge oraria:
$$d=v_0t-\frac{1}{2}at^2=$$
$$=v_0\frac{v_0}{g\mu_d}-\frac{1}{2}(g\mu_d)\left(\frac{v_0}{g\mu_d}\right)^2=$$
$$=\frac{v_0^2}{g\mu_d}-\frac{v_0^2}{2g\mu_d}=\frac{v_0^2}{g\mu_d}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{v_0^2}{2g\mu_d}$$
Si può dunque notare la totale indipendenza di $d$ rispetto a $m$:
$$d=
\frac{v_0^2}{2g\mu_d}=\frac{(5,3\frac{m}{s})^2}{2\times9,81\frac{m}{s^2}\times0,11}=13m$$
