La macchina di Atwood è costituita da
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
La macchina di Atwood è costituita da due masse collegate mediante una fune che passa su una carrucola, come mostrato in figura.
1. Scrivi l’espressione dell’accelerazione per due masse generiche m1 e m2.
2. Calcola il valore dell’accelerazione nel caso in cui m1 = 3,1 kg ed m2 = 4,4 kg.
Introduzione all’Argomento:
La dinamica dei corpi è un ramo della meccanica newtoniana che si occupa dello studio del moto dei corpi a partire dalle forze che lo causano o delle circostanze che lo determinano e lo modificano nel tempo e nello spazio del suo sistema di riferimento. Nella dinamica dei corpi si effettua quindi lo studio del moto, ma è bene fare una considerazione, non consideriamo il corpo come rigido, bensì come punto materiale. Di fondamentale importanza sono le tre leggi di Newton (il principio di inerzia, il principio di proporzionalità e il principio di azione e reazione) e il concetto di relatività galileiana.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene messa di fronte la macchina di Atwood, che è costituita da due masse collegate tramite una fune. Il nostro compito è quello di andare a rappresentare graficamente la situazione in modo da comprendere più facilmente le forze che agiscono sul sistema. Fatto ciò, consideriamo i due blocchi prendendoli singolarmente e applichiamo su ciascuno di essi il secondo principio della dinamica. Tramite opportuni procedimenti matematici è possibile esplicitare l’accelerazione del sistema in funzione delle masse e risolvere dunque il quesito.
Risoluzione dell’Esercizio:
La figura mostra la macchina di Atwood con la scelta di riferimento per i due blocchi. Possiamo notare che entrambi i blocchi accelerano lungo la direzione positiva dell’asse $x$ con una medesima accelerazione$a$. Applico la seconda legge di Newton per il blocco 1 tenendo in considerazione le due forze che agiscono su di esso:
$$T-F_{P_1}=m_1a$$
da cui ottengo:
$$T-m_1g=m_1a$$
ovvero:
$$T=m_1(a+g)$$
Ripeto lo stesso ragionamento per il secondo blocco:
$$F_{P_2}-T=m_2a$$
da cui ottengo:
$$m_2g-T=m_2a$$
ovvero:
$$T=m_2(g-a)$$
Eguaglio le due relazioni che esprimono la tensione in funzione delle masse e delle accelerazioni:
$$m_1(a+g)=m_2(g-a)$$
risolvendo rispetto all’accelerazione ottengo:
$$a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g$$
Sostituisco ora i valori numerici di cui dispongo:
$$a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g=$$
$$=\frac{(4,4-3,1)kg}{(4,4+3,1)kg}\times9,81\frac{m}{s^2}=1,7\frac{m}{s^2}$$
