Le foglioline d’oro di un elettroscopio vengono sostituite
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Le foglioline d’oro di un elettroscopio vengono sostituite da due sottili fili d’oro, di massa trascurabile e lunghi L = 5,0 cm ciascuno, a cui sono sospese due piccole sfere conduttrici identiche di massa m = 20 g. Quando si tocca l’asta dell’elettroscopio con una sfera carica, le due sfere si allontanano e l’angolo tra i due fili φ è = 10°. Determina la carica elettrica presente sulle due sfere dell’elettroscopio.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio le foglioline d’oro di un elettroscopio vengono sostituite da due sottili fili d’oro. Toccando l’asta dello strumento con una sfera carica le due sfere si allontanano fino a raggiungere una situazione di equilibrio statico. Affinché ciò avvenga è necessario che le forze agenti sulle singole palline (tensione del filo, forza peso e forza elettrica) vadano a compensarsi sia lungo il piano orizzontale sia lungo quello verticale. Imposto ciò, sarà sufficiente sostituire i valori numerici e ottenere quanto ci viene richiesto dall’esercizio.
Risoluzione dell’Esercizio:
Ognuna delle due sfere è sottoposta a tre forze: la tensione del filo, la forza peso e la forza di repulsione. Rappresento graficamente queste tre grandezza in modo da semplificare la comprensione dell’esercizio:
Dal momento che esse si trovano in equilibrio, posso scrivere che:
$$F_e=T_x=T\sin\left(\frac{\phi}{2}\right),(1)$$
$$F_P=T_y=T\cos\left(\frac{\phi}{2}\right),(2)$$
Dalla relazione $(2)$ calcolo il valore della tensione del filo:
$$mg=T\cos\left(\frac{\phi}{2}\right)$$
da cui:
$$T=\frac{mg}{\cos\left(\frac{\phi}{2}\right)}=$$
$$=
\frac{0,020kg\times9,81\frac{m}{s^2}}{\cos(5^\circ)}=0,197N$$
Determino lo spostamento orizzontale $r$ dato dalla forza di repulsione:
$$r=L\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$$
Scrivo la formula della forza elettrica, tenendo in considerazione che la distanza tra le due sfere è data dalla somma dei loro spostamenti orizzontali:
$$F_e=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q^2}{(2r)^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q^2}{(2L\sin\left(\frac{\phi}{2}\right))^2}$$
Sostituisco la formula appena trovata nella relazione $(1)$:
$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q^2}{(2L\sin\left(\frac{\phi}{2}\right))^2}=T\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$$
da cui ricavo che:
$$Q=\sqrt{16\pi\epsilon_0L^2T\sin^3\left(\frac{\phi}{2}\right)}=$$
$$=\sqrt{..}=1,2\times10^{-8}C$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
