Esercizio

MATERIA – FISICA

Due piccole sfere identiche sono sospese

Due piccole sfere identiche sono sospese

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Due piccole sfere identiche sono sospese a due punti P e O, distanti d = 2,0 cm l’uno dall’altro, mediante due fili sottili di seta lunghi L = 12 cm ciascuno. Le due sfere hanno entrambe una carica Q = 36 nC. L’angolo che ciascuno dei due fili forma con la verticale quando le sfere sono in equilibrio è φ = 3,0°.
1. Determina la massa m delle due sfere.
2. Determina la tensione T di ciascun filo.

Introduzione all’Argomento:

L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio abbiamo due piccole sfere identiche che sono sospese a due punti differenti. Essendo dotate di carica positiva, tra di esse vi è una forza repulsiva che le porta ad allontanarsi l’una dall’altra fino a raggiungere una situazione di equilibrio statico. Affinché ciò avvenga è necessario che le forze agenti sulle singole palline (tensione del filo, forza peso e forza elettrica) vadano a compensarsi sia lungo il piano orizzontale sia lungo quello verticale. Imposto ciò, sarà sufficiente sostituire i valori numerici e ottenere quanto ci viene richiesto dall’esercizio.

Risoluzione dell’Esercizio:

Ognuna delle due sfere è sottoposta a tre forze: la tensione del filo, la forza peso e la forza di repulsione. Rappresento graficamente queste tre grandezza in modo da semplificare la comprensione dell’esercizio:

Dal momento che esse si trovano in equilibrio, posso scrivere che:

$$F_e=T_x=T\sin\phi,(1)$$

$$F_P=T_y=T\cos\phi,(2)$$

Determino lo spostamento orizzontale $r$ dato dalla forza di repulsione:

$$r=L\sin\phi$$

Scrivo la formula della forza elettrica, tenendo in considerazione che la distanza tra le due sfere data dalla somma della distanza iniziale più l’allontanamento $r$ a destra e a sinistra:

$$F_e=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q^2}{(d+2r)^2}=$$

$$=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q^2}{(d+2L\sin\phi)^2}$$

Per definizione, la tangente di un angolo è pari al rapporto tra il suo sin e il suo coseno, pertanto:

$$\tan \phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{\frac{F_e}{T}}{\frac{F_P}{T}}=\frac{F_e}{F_P}=\frac{F_e}{mg}$$

esplicitando rispetto alla massa ottengo che:

$$m=\frac{F_e}{g\tan\phi}=$$

$$=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q^2}{(d+2L\sin\phi)^2}\frac{1}{g\tan\phi}=$$

$$=\frac{1}{4\pi\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}\times$$

$$\times\frac{(36\times10^{-9}C)^2}{(0,02m+2\times0,12m\times\sin(3^\circ))^2}\times$$

$$\times\frac{1}{9,81\frac{N}{kg}\times\tan(3^\circ)}=0,021kg=21g$$

Ricavo ora il valore della tensione del filo dalla relazione $(2)$:

$$F_P=mg=T\cos\phi$$

da cui:

$$T=\frac{mg}{\cos\phi}=\frac{0,021kg\times9,81\frac{N}{kg}}{\cos(3^\circ)}=0,21N$$

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