Due cariche identiche q = 5.0 x 10^-6 C
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Due cariche identiche q = 5.0 x 10^-6 C si trovano, nel vuoto, in due punti A e B, a distanza 2l = 12 cm. Come è mostrato nella figura, una sferrata di massa m = 9,0 mg e di carica negativa q’ = – 4,0 x 10^-6 C compie un moto circolare uniforme, attorno al segmento AB, in un piano perpendicolare ad AB e passante per il suo punto medio M. La frequenza del moto è f = 1,0 kHz. Trascura la forza-peso.
1. Calcola la forza totale esercitata dalle cariche positive sulla carica negativa.
2. Calcola il modulo della velocità della sferetta.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo due cariche elettriche identiche q = 5.0 x 10^-6 C che si trovano ad una certa distanza l’una dall’altra. Un’altra carica (negativa) compie un moto circolare uniforme, attorno al segmento che unisce le prime due, in un piano perpendicolare e passante per il suo punto medio M. La forza totale esercitata dalle cariche positive su quella negativa è facilmente ottenibile applicando la condizione di equilibrio (essa deve andare a compensare la forza centrifuga dovuta al moto) e andando a sostituire le grandezze mancanti con opportuni teoremi matematici (es. Pitagora, triangoli rettangoli). Per quanto riguarda invece la velocità tangenziale, sarà sufficiente applicare la formula che la mette in relazione alla frequenza.
Risoluzione dell’Esercizio:
La terza sfera ruota di moto circolare uniforme: ciò significa che la risultante delle forze che agiscono su di essa deve essere pari a zero. Dunque:
$$\vec F_{e_1}+\vec F_{e_2}+\vec F_C=0$$
Scomponendo lungo gli assi abbiamo che:
$$\vec F_{e_1x}+\vec F_{e_2x}+\vec F_{Cx}=0$$
e
$$F_{e_1x}-F_{e_2x}+0=0$$
Dal momento che le due cariche in A e B sono identiche e sono poste alla medesima distanza da $q’$, le loro componenti orizzontali sono uguali in modulo, ma di verso opposto, pertanto si eliminano a vicenda.
Per quanto riguarda l’asse verticale, invece, abbiamo che:
$$F_{e_1y}+F_{e_2y}=F_C,(1)$$
In questo caso le due forze elettriche hanno ugual modulo e ugual verso, dunque:
$$F_{e_1y}=F_{e_2y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qq’}{d^2}\sin\alpha$$
Sia $R$ il raggio della circonferenza percorsa da $q’$; determino la distanza $d$ applicando il teorema di Pitagora:
$$d^2=R^2+l^2$$
Determino ora il seno dell’angolo $\alpha$ applicando i teoremi dei triangoli rettangoli:
$$\sin \alpha=\frac{cateto opposto}{ipotenusa}=\frac{R}{d}=\frac{R}{\sqrt{R^2+l^2}}$$
Fatte queste considerazioni e sapendo che la forza centripeta è data da:
$$F_C=ma_C=m\omega^2R=m(2\pi f)^2R$$
Posso riscrivere la relazione $(1)$ come:
$$2\times\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qq’}{R^2+l^2}\frac{R}{\sqrt{R^2+l^2}}=m(2\pi f)^2R$$
da cui ricavo che il raggio vale:
$$R=\sqrt{\sqrt[3]{\left(\frac{qq’}{8\pi^3\epsilon_0f^2m}\right)^2}-l^2}
=$$
$$=\sqrt{\sqrt[3]{…}}=0,08m$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Dal momento che orizzontalmente le forze elettriche si compensano, calcolo la forza totale esercitata dalle cariche positive sulla carica negativa, rifacendomi alla relazione dell’asse verticale, la $(1)$, e ricordando perciò che la forza totale è pari in modulo alla forza centrifuga:
$$F_{tot}=F_C=m(2\pi f)^2R=9,0\times10^{-6}kg\times$$
$$\times(2\pi\times10^3Hz)^2\times0,08m=28N$$
Applico ora le leggi relative al moto circolare uniforme e ricavo la velocità lineare della sfera caricata negativamente:
$$v=\omega R=2\pi fR=$$
$$=2\pi\times10^3Hz\times0,08m=503\frac{m}{s}$$
