Tre piccole sfere metalliche
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Tre piccole sfere metalliche, di massa m1 = 12 g, m2 = 25 g e m3 = 40 g e aventi cariche elettriche Q1 = 1,6 x 10^-9 C, Q2 = -2,6 x 10^-9 C e Q3 = 4,0 x 10^-9 C sono poste su sostegni isolanti in x1 = 0 m, x2 = 0,40 m e x3 = 1,0 m.
1. Quale delle tre sfere subisce la forza più intensa? Quale la meno intensa?
2. Se le sfere non fossero vincolate dai sostegni, quale avrebbe l’accelerazione maggiore? Quale quella minore?
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo tre piccole sfere metalliche allineate. Ognuna interagisce con le altre generando delle forze elettriche. In questi casi è sempre buona norma rappresentare graficamente la situazione in maniera tale da avere un’idea più chiara delle forze che agiscono su ogni singola carica (ricordiamo che sono in equilibrio). Fatto ciò, andiamo a determinare i valori delle singole forze così da rendere più semplice il confronto tra le tre sfere. Infine applichiamo il secondo principio della dinamica e otteniamo le loro accelerazioni.
Risoluzione dell’Esercizio:
Rappresento graficamente la situazione per avere un’idea più chiara della forze che agiscono su ogni singola carica. Le cariche dello stesso colore hanno ugual modulo (ma verso opposto).
Determino i valori dei moduli delle forze:
$$F_{13}=F_{31}=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_3}{(x_3-x_1)^2}
=$$
$$=
\frac{1}{4\pi\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}\times$$
$$
\times\frac{1,6\times10^{-9}C\times4,0\times10^{-9}C}{(1,0m-0m)^2}=$$
$$=0,58\times10^{-7}N$$
$$F_{12}=F_{21}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{(x_2-x_1)^2}
=$$
$$=\frac{1}{4\pi\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}\times$$
$$\times\frac{1,6\times10^{-9}C\times2,6\times10^{-9}C}{(0,40m-0m)^2}=$$
$$=2,33\times10^{-7}N$$
$$F_{23}=F_{32}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2Q_3}{(x_3-x_2)^2}
=$$
$$\frac{1}{4\pi\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}\times$$
$$\times\frac{2,6\times10^{-9}C\times4,0\times10^{-9}C}{(1,00m-0,40m)^2}=$$
$$=2,60\times10^{-7}N$$
Ora faccio i calcoli per ogni carica:
$$F_{tot_1}=F_{21}-F_{31}=$$
$$=(2,33-0,58)\times10^{-7}N=1,75\times10^{-7}N$$ù
$$F_{tot_2}=F_{32}-F_{12}=$$
$$=(2,60-2,33)\times10^{-7}N=0,27\times10^{-7}N$$
$$F_{tot_3}=F_{13}-F_{23}=(0,58-$$
$$2,60)\times10^{-7}N=-2,02\times10^{-7}N$$
Considerando il modulo delle tre forze risultanti possiamo affermare che la carica $Q_3$ è quella che subisce la forza più intensa, mentre la carica $Q_2$ è quella che subisce la forza meno intensa.
Determino ora le rispettive accelerazioni applicando il secondo principio della dinamica ($F=ma$):
$$a_1=\frac{F_{tot_1}}{m_1}=$$
$$\frac{1,75\times10^{-7}N}{0,012kg}=1,46\times10^{-5}\frac{m}{s^2}$$
$$a_2=\frac{F_{tot_2}}{m_2}=$$
$$\frac{0,27\times10^{-7}N}{0,025kg}=1,08\times10^{-6}\frac{m}{s^2}$$
$$a_3=\frac{F_{tot_3}}{m_3}=$$
$$=\frac{-2,02\times10^{-7}N}{0,040kg}=-5,05\times10^{-6}\frac{m}{s^2}$$
Confrontando i moduli, $Q_1$ sarebbe la carica con accelerazione maggiore, mentre la carica $Q_2$ sarebbe quella con accelerazione minore.
