Quattro cariche puntiformi
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Quattro cariche puntiformi (Q1 = -2,0 x 10^-9 C, Q2 = Q4 = +5,0 x 10^-9 C, Q3 = +3,0 x 10^-9 C) sono disposte in senso orario sui vertici di un quadrato l = 40 cm.
1. Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1 nel vuoto.
2. Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q1 supponendo che le cariche siano immerse in acetone (εr = 21)
3. Al centro del quadrato ora è posta una carica Q = -3,0 x 10^-9 C. Determina direzione, verso e intensità della forza elettrica risultante sulla carica Q.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo 4 cariche puntiformi disposte sui vertici di un quadrato. Esse interagiscono tra di loro generando forze elettriche di tipo attrattivo o repulsivo. In questi casi è sempre buona norma rappresentare graficamente la situazione in maniera tale da avere un’idea più chiara delle forze che agiscono su ogni singola carica. Fatto ciò, andiamo a determinare i valori delle singole forze così da rendere più semplice il calcolo della risultante agente su Q1. Distinguiamo il caso in cui le cariche si trovano nel vuoto e quello in cui si trovano in acetone (bisogna ricordarsi la relazione che c’è tra queste due). Per la risoluzione dell’ultimo punto, dobbiamo prestare attenzione all’introduzione di una quinta carica al centro del quadrato. Constato ciò, basterà ripetere un procedimento analogo a quello fatto per i punti precedenti.
Risoluzione dell’Esercizio:
Rappresento graficamente la situazione per avere un’idea chiara delle forze che agiscono sulla carica $Q_1$ . Determino i moduli delle tre forze:
$$F_{21}
=
k_0\frac{Q_1Q_2}{r_{21}^2}
=
k_0\frac{Q_1Q_2}{l^2}
=$$
$$=8,988\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}
\times$$
$$\times\frac{2,0\times10^{-9}C\times5,0\times10^{-9}C}{(0,40m)^2}$$
$$=5,62\times10^{-7}N$$
$$F_{41}
=
k_0\frac{Q_1Q_4}{r_{41}^2}
=
k_0\frac{Q_1Q_4}{l^2}
=$$
$$=
8,988\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}
\times$$
$$\times\frac{2,0\times10^{-9}C\times5,0\times10^{-9}C}{(0,40m)^2}$$
$$=5,62\times10^{-7}N$$
$$F_{31}
=
k_0\frac{Q_1Q_3}{r_{31}^2}
=
k_0\frac{Q_1Q_3}{(l\sqrt2)^2}
=$$
$$=
8,988\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}
\times$$
$$\times\frac{2,0\times10^{-9}C\times3,0\times10^{-9}C}{(0,40m\times\sqrt2)^2}$$
$$=1,68\times10^{-7}N$$
Dato che le quattro cariche sono disposte ai vertici di un quadrato e le cariche $Q_2=Q_4$ sono uguali, la risultante tra $\vec F_{21}$ e $\vec F_{41}$ avrà la medesima direzione (e anche verso) di $\vec F_{31}$, vale a dire la diagonale del quadrato. Faccio i calcoli:
$$\left|\vec F_{21}+\vec F_{41}\right|
=
\sqrt{F_{21}^2+F_{41}^2}
=$$
$$=
\sqrt{(5,62\times10^{-7}N)^2+(5,62\times10^{-7}N)^2}$$
$$=7,95\times10^{-7}N$$
Posso ora calcolare il valore della forza elettrica risultante relativa alla carica 1, sommando il risultato appena trovato alla forza $F_{31}$ (lo posso fare perché abbiamo detto che hanno la medesima direzione):
$$F_{tot_1}=(7,95+1,68)\times10^{-7}N$$
$$=9,63\times10^{-7}N$$
Direzione: diagonale del quadrato; Verso: da $Q_1$ a $Q_3$.
Per determinare la medesima forza quando le cariche sono immerse in acetone, è necessario andare a introdurre il coefficiente dielettrico relativo in tutte le forze elettriche, pertanto, partendo dalla relazione generale $F_{mezzo}=\frac{F_{vuoto}}{\epsilon_r}$:
$$F_{tot_1acetone}=\frac{F_{tot_1}}{\epsilon_r}
=$$
$$=\frac{9,63\times10^{-7}N}{21}=4,59\times10^{-8}N$$
Direzione: diagonale del quadrato; Verso: Verso: da $Q_1$ a $Q_3$.
A questo punto l’esercizio introduce una quarta carica $Q=-3,0\times10^{-9}C$. Rappresento graficamente la situazione per avere un’idea chiara delle forze che agiscono su questa.
Essendo la nuova carica al centro del quadrato ed essendo le cariche $Q_2$ e $Q_4$ identiche, le forze esercitate da queste ultime su $Q$ sono di ugual modulo e verso opposto, ciò significa che si annullano a vicenda.
Essendo la nuova carica negativa, essa è sottoposta a forza repulsiva da $Q_1$ e attrattiva da $Q_3$ lungo la direzione coincidente con la diagonale del quadrato e verso da $Q_1$ a $Q_3$ (v. disegno). Determino i moduli di $\vec F_{1}$ e $\vec F_{3}$ sapendo che in entrambi i casi la distanza $d$ è metà diagonale:
$$F_1=k_0\frac{QQ_1}{d^2}
=
k_0\frac{QQ_1}{\left(\frac{l\sqrt2}{2}\right)^2}
=
\frac{2k_0QQ_1}{l^2}=$$
$$=\frac{2\times8,988\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}\times3,0\times10^{-9}C\times}{(0,40m)^2}$$
$$\frac{2,0\times10^{-9}C}{…}=6,74\times10^{-7}N$$
$$F_3=k_0\frac{QQ_3}{d^2}
=
k_0\frac{QQ_1}{\left(\frac{l\sqrt2}{2}\right)^2}
=
\frac{2k_0QQ_3}{l^2}=$$
$$=\frac{2\times8,988\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}\times3,0\times10^{-9}C\times}{(0,40m)^2}$$
$$\frac{\times 3,0\times10^{-9}C}{…}=10,11\times10^{-7}N$$
Perciò, alla luce di quanto detto in precedenza:
$$F_{tot_Q}=F_1+F_3=$$
$$=(6,74+10,11)\times10^{-7}N$$
$$=16,85\times10^{-7}N=1,69\times10^{-6}N$$
Direzione: diagonale del quadrato; Verso: da $Q$ a$Q_3$.
