In un cilindro isolante privo di attrito
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
In un cilindro isolante, privo di attrito, si trovano allineate tre sferette cariche in equilibrio. La sferrata centrale, di carica 49 nC, dista 10 cm da quella di sinistra e 20 cm da quella di destra. Quanto valgono le cariche presenti sulle altre sfere?
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci troviamo in un cilindro isolante privo di attrito, dove vi sono tre sferette allineate e in equilibrio. Ognuna interagisce con le altre generando delle forze elettriche. In questi casi è sempre buona norma rappresentare graficamente la situazione in maniera tale da avere un’idea più chiara delle forze che agiscono su ogni singola carica. Per farlo dobbiamo ragionare sulla natura delle cariche esterne (sono positive o negative?). Fatto ciò, ci basta imporre le condizioni di equilibrio, sostituire i valori numerici e ottenere i risultati richiesti.
Risoluzione dell’Esercizio:
Analizzo la situazione in modo da determinare la natura (positive o negative) delle cariche A e C situate esternamente.
So che la carica centrale B è in equilibrio, perciò le cariche A e C devono entrambe esercitare una forza repulsiva o una forza attrattiva (devono quindi essere CONCORDI).
Inoltre so che anche A e C sono in equilibrio: se fossero ambedue positive, esse verrebbero respinte dalla carica centrale e dalla carica all’altro estremo, perciò non sarebbero in equilibrio. A e C sono quindi NEGATIVE.
Rappresento graficamente la situazione:
Tenendo conto del fatto che le forze dello stesso colore hanno ugual modulo e verso opposto e sapendo che $r_{ab}=0,10m$, $r_{bc}=2r_{ab}$ e $r_{ac}=r_{ab}+r_{ac}=3r_{ab}$ posso scrivere le formule relative alle forze in questione:
$$F_{ac}
=F_{ca}
=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_aQ_c}{(r_{ac})^2}
=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_aQ_c}{(3r_{ab})^2}$$
$$F_{bc}
=F_{cb}
=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_bQ_c}{(r_{bc})^2}
=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_bQ_c}{(2r_{ab})^2}$$
$$F_{ab}
=F_{ba}
=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_aQ_b}{(r_{ab})^2}$$
Impongo le condizioni di equilibrio:
$F_{ca}=F_{ba}$, $F_{ab}=F_{cb}$ e $F_{ac}=F_{bc}$
Che posso riscrivere rispettivamente come:
$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_aQ_c}{(3r_{ab})^2}
=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_aQ_b}{(r_{ab})^2}$$
da cui ottengo:
$$\frac{Q_c}{9}=Q_b,(1)$$
$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_aQ_b}{(r_{ab})^2}
=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_bQ_c}{(2r_{ab})^2}$$
da cui ottengo:
$$Q_a=\frac{Q_c}{4},(2)$$
$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_aQ_c}{(3r_{ab})^2}
=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\frac{Q_bQ_c}{(2r_{ab})^2}$$
da cui ottengo:
$$\frac{Q_a}{9}=\frac{Q_b}{4},(3)$$
Sapendo che $Q_b=49\times10^{-9}C$, posso affermare che, dalla $(1)$:
$$Q_c=9Q_b=9\times49\times10^{-9}C=4,4\times10^{-7}C$$
Dalla $(2)$:
$$Q_a=\frac{Q_c}{4}=\frac{4,4\times10^{-7}C}{4}=1,1\times10^{-7}C$$
E dalla $(3)$, a conferma che i nostri calcoli sono corretti:
$$Q_a=\frac{9Q_c}{4}=$$
$$\frac{9\times49\times10^{-9}C}{4}=1,1\times10^{-7}C$$
All’inizio della risoluzione abbiamo stabilito che A e C sono caricate negativamente, perciò:
$$Q_a=-1,1\times10^{-7}C$$
$$Q_c=-4,4\times10^{-7}C$$
