Una carica Q = 1.0 nC è posta in x = 0
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una carica Q = 1.0 nC è posta in x = 0. Altre cariche, identiche alla prima, sono poste in x1 = d = 1,0 cm, x2 = 2d e x3 = 3d, ecc. Calcola la forza totale subita dalla prima carica. A tal scopo, usa la relazione:
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} =
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+$$
$$+\frac{1}{5^2}+K=\frac{\pi^2}{6}$$
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo una carica Q = 1,0 nC che è posta in x = 0. Essa è sottoposta a infinite forze repulsive, dovute a cariche identiche disposte a distanza costante l’una dall’altra. Il testo ci fornisce una relazione fondamentale per la risoluzione dell’esercizio. Ci basterà infatti scrivere la forza elettrica totale che agisce sulla carica principale (sfruttiamo il principio di sovrapposizione), raccogliere i fattori comuni e utilizzare la relazione che ci viene fornita per semplificare i calcoli.
Risoluzione dell’Esercizio:
Dal momento che le cariche che aggiungiamo sono identiche alla prima, esse esercitano tutte una forza repulsiva su Q. Dunque la forza totale subita da essa, sarà pari a:
$$F_{tot}
=
F_{21}+F_{31}+F_{41}…+F_{n1}
=
k_0\frac{Q^2}{d^2}+$$
$$k_0\frac{Q^2}{(2d)^2}+
k_0\frac{Q^2}{(3d)^2}+
…+
k_0\frac{Q^2}{((n-1)d)^2}$$
Raccogliendo avremmo:
$$F_{tot}
=
k_0\frac{Q^2}{d^2}\times\Biggl(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+$$
$$+\frac{1}{5^2}+K\Biggr)
=
k_0\frac{Q^2}{d^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}
=$$
$$=
8,988\times10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}
\times
\frac{(1,0\times10^{-9}C)^2}{(0,01m)^2}
\times$$
$$\times\frac{\pi^2}{6}
=
1,5\times10^{-4}N$$
