Una grata circolare di raggio r = 1.0 m
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una grata circolare di raggio r = 1.0 m si trova all’interno di una conduttura in cui l’acqua scorre con velocità v uniforme. La grata è inclinata di 45° rispetto alla direzione di v e la portata attraverso di essa è q = 32,7 m3/s.
1. Calcola il modulo della velocità.
2. Più avanti nella conduttura c’è una seconda grata, inclinata di 60° rispetto alla direzione di v. Calcola la superficie della seconda grata (la portata rimane invariata).
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo una grata di circolare di raggio r = 1.0 m che si trova all’interno di una conduttura acquifera. Per trovare la velocità a cui si muove il fluido in questione è sufficiente applicare la formula inversa della portata. Analogamente potremo determinare il valore della superficie della seconda grata. L’unica cosa a cui dobbiamo prestare particolare attenzione è la questione degli angoli. L’angolo alfa che ci interessa non è quello che ci fornisce il testo (60°), bensì il suo complementare, in quanto è quello compreso tra il vettore velocità e la perpendicolare alla superficie.
Risoluzione dell’Esercizio:
Calcolo il modulo della velocità partendo dalla definizione di portata:
$$q=Sv\cos\alpha=\pi r^2v\cos\alpha$$
da cui ricavo che:
$$v=\frac{q}{\pi r^2\cos\alpha}
=
\frac{32,7\frac{m^3}{s}}{
\pi\times(1,0m)^2\times\cos(45^\circ)}=$$
$$=14,7\frac{m}{s}\approx15\frac{m}{s}$$
Più avanti nella conduttura troviamo una seconda grata inclinata con un angolo diverso. Il testo ci dice che la portata rimane invariata e, in più, sappiamo che la velocità è uniforme.
E’ importante ricordare che l’angolo che utilizziamo nella formula della portata è quello compreso tra il vettore velocità e la perpendicolare alla superficie; esso è dunque il complementare di quello proposto nel testo:
$$\alpha’=90^\circ-60^\circ=30^\circ$$
Dunque:
$$q=Sv\cos\alpha’$$
da cui:
$$S=\frac{q}{v\cos\alpha’}
=$$
$$=
\frac{32,7\frac{m^3}{s}}{14,7\frac{m}{s}\times\cos(30^\circ)}=2,6m^2$$
