La figura mostra due cariche Q uguali poste agli estremi
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
La figura mostra due cariche Q uguali, poste agli estremi di un segmento AB di lunghezza d = 40,3 cm. Il campo elettrico generato dalle due cariche nel punto C, terzo vertice del triangolo rettangolo isoscele ABC, è rappresentato nella figura e ha modulo pari a E = 1,5 x 10^6 N/C.
1. Determina il modulo e il segno delle cariche.
2. Determina il modulo del campo elettrico nel punto D del segmento AB, la cui distanza da A è doppia della sua distanza da B.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio dobbiamo fare particolare attenzione al disegno. La figura mostra infatti due cariche Q poste agli estremi di un segmento AB. Sfruttando le proprietà del triangolo rettangolo isoscele e tenendo conto del principio di sovrapposizione, possiamo determinare il valore del campo elettrico complessivo sia in C sia in D. L’unica differenza è che in C dovremo scomporre il vettore lungo gli assi in maniera tale da non commettere errori di calcolo.
Risoluzione dell’Esercizio:
Dal momento che siamo in presenza di due cariche identiche e di un triangolo rettangolo isoscele (ovvero la distanza di A e B da C è la medesima), le componenti verticali di $\vec E_A$ ed $\vec E_B$ si annullano, mentre le componenti orizzontali si sommano tra loro. Perciò:
$$E=E_{A_x}+E_{B_x},(1)$$
Determino i loro valori:
$$E_{A_x}=E_{B_x}
=
k_0
\frac{Q}{l^2}
\sin45^\circ,(2)$$
Calcolo a distanza di A e B da C, sapendo che il triangolo è rettangolo e isoscele (l’ipotenusa è data da $d=l\sqrt2$):
$$l
=
\frac{d}{\sqrt2}=\frac{0,403m}{\sqrt2}=0,285m$$
Sostituisco la $(2)$ nella $(1)$:
$$E=2k_0\frac{Q}{l^2}$$
da cui:
$$Q=\frac{El^2}{2k_0\sin45^\circ}
=$$
$$=
\frac{1,5\times10^6\frac{N}{C}\times(0,285m)^2}{2\times8,988\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}\times\sin45^\circ}
=$$
$$=9,6\times10^{-6}C$$
Mi concentro ora sul punto D. Dal testo, so che:
$$d=d_{AD}+d_{BD}=2d_{BD}+d_{BD}=3d_{BD}$$
da cui:
$$d_{BD}=\frac{d}{3}=\frac{0,403m}{3}=0,134m$$
e:
$$d_{AD}=2d_{BD}=2\times0,134m=0,268m$$
Posso calcolare ora il modulo del campo elettrico in D:
$$E_{tot_D}
=
E_{B_D}-E_{A_D}
=
k_0\frac{Q}{d_{BD}^2}-k_0\frac{Q}{d_{AD}^2}
=$$
$$=
k_0Q\left(\frac{1}{d_{BD}^2}-\frac{1}{d_{AD}^2}\right)
=
8,988\times$$
$$\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}
\times
9,6\times10^{-6}C
\times
\Biggl(
\frac{1}{(0,134m)^2}$$
$$-\frac{1}{(0,268m)^2}
\Biggr)
=
3,6\times10^6\frac{N}{C}$$
