L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).

In questo esercizio abbiamo una carica Q = 3.2 nC che è distribuita uniformemente all’interno di una sfera. Per determinare la distanza r di un punto P interno noto il valore del campo elettrico in quel punto, è sufficiente applicare l’apposita formula ed esplicitare poi il valore di r. Nel secondo punto ci viene invece chiesto di imporre una condizione di equilibrio tra il campo esercitato dalla sfera in un punto B (anch’esso interno) e quello generato dalla presenza di una carica in A. Non dovremo fare altro che eguagliare le formule che descrivono queste due grandezze ed esplicitare poi il valore della carica q posta in A.

So che il modulo del campo elettrico all’interno di una sfera omogenea di carica è dato dalla seguente formula:

$$E=\frac{\left|Q\right|}{4\pi\epsilon_0R^3}r$$

dove $r$ è la distanza di P dal centro della sfera:

$$r=\frac{4\pi\epsilon_0R^3}{\left|Q\right|}E
=\frac{4\pi\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}\times}{3,2\times10^{-9}C}
$$

$$\frac{\times(2,5\times10^{-2}m)^3}{…}\times9,1\times10^3\frac{N}{C}=$$

$$=4,9\times10^{-3}m$$

Nel punto B il campo elettrico totale è dato dalla differenza tra il campo elettrico generato dalla carica distribuita all’interno della sfera e quello generato dalla carica $q$ posizionata nel punto A.
Essendo $d_{BO}<R$, il punto B è interno alla sfera e quindi:

$$E_{B_{sfera}}=\frac{\left|Q\right|}{4\pi\epsilon_0R^3}d_{BO}$$

$$E_{B_{A}}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0(d_{AO}-d_{BO})^2}$$

Dal momento che, come specificato dal testo, $E_{tot_B}=0$, significa che:

$$E_{B_{sfera}}=E_{B_A}$$

da cui:

$$\frac{\left|Q\right|}{4\pi\epsilon_0R^3}d_{BO}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0(d_{AO}-d_{BO})^2}$$

ovvero:

$$q=
\frac{\left|Q\right|d_{BO}}{R^3}
(d_{AO}-d_{BO})^2
=$$

$$=\frac
{3,2\times10^{-9}C\times1,5\times10^{-2}m}
{(2,5\times10^{-2}m)^3}\times$$

$$\times((5,0-1,5)\times10^{-2}m)^2=3,8\times10^{-9}C$$