Otto cariche Q uguali sono situate sui vertici di
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Otto cariche Q uguali sono situate sui vertici di un cubo di lato L = 12 cm posto nel vuoto. Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie sferica di raggio r = 14 cm e centro coincidente con quello del cubo (cioè nel punto di incontro delle diagonali del cubo) è pari a φ= 1,6 x 10^4 Nm2/C.
1.Calcola il valore di Q.
2.Calcola il flusso del campo elettrico attraverso una superficie sferica, di raggio r = 14 cm con centro nel punto medio di uno spigolo del cubo.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo otto cariche Q uguali situate sui vertici di un cubo di lato L. I due punti del quesito si differenziano per la collocazione del centro di una superficie sferica. Ciò significa che dovremo determinare quante delle otto cariche si trovino effettivamente all’interno della sfera, così da poter poi applicare il teorema di Gauss. E’ dunque necessario saper lavorare con le figure solide, onde evitare errori di calcolo stupidi.
Risoluzione dell’Esercizio:
Nel primo caso la sfera ha centro coincidente a quello del cubo, pertanto, avendo un raggio maggiore del lato del cubo, tutte le 8 cariche saranno all’interno della sua superficie.
Posso dunque applicare il teorema di Gauss:
$$\Phi_\Omega(\vec E)=\frac{Q_{tot}}{\epsilon_0}
=
\frac{8Q}{\epsilon_0}$$
da cui ottengo che:
$$Q=\frac{\Phi\epsilon_0}{8}=$$
$$=\frac{1,6\times10^4\frac{Nm^2}{C}\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}{8}$$
$$=1,8\times10^{-8}C$$
Nel secondo caso, il centro della superficie sferica è posto nel punto medio uno spigolo del cubo, pertanto devo andare a determinare le distanze dalle 8 cariche per capire se sono contenute all’interno della superficie o sono esterne ad essa.
Le due distanze rosse sono lunghe:
$$d_{rossa}=\sqrt{(0,06m)^2 + (0,12m)^2}=0,13m$$
Dunque le cariche colorate in rosso sono all’interno della
superficie sferica, così come quelle grigie che distano solamente
metà lato ($0,06m$).
Le distanze verdi invece:
$$d_{verde}=\sqrt{L^2+d_{rossa}^2}=$$
$$=\sqrt{(0,12m)^2+(0,13m)^2}=0,18m$$
Perciò le cariche colorate in verde sono all’esterno della superficie sferica.
Stabilito che, nel caso descritto dalla seconda domanda, sono presenti all’interno della sfera solo 6 cariche delle 8 totali, calcolo il valore del flusso del campo elettrico applicando il teorema di Gauss:
$$\Phi_\Omega(\vec E)
=
\frac
{6Q}
{\epsilon_0}
=$$
$$=\frac
{6\times1,8\times10^{-8}C}
{8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}
=
1,2\times10^4\frac{Nm^2}{C}$$
