Un proiettile viene sparato nello spazio
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un proiettile viene sparato nello spazio con velocità pari alla velocità di fuga della terra. Dopo un certo tempo si trova a 12 500 km dal centro della Terra. Quale sarebbe in quel punto la velocità del proiettile se trascuriamo gli attriti nel passaggio attraverso l’atmosfera?
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un proiettile che spariamo nello spazio. Dallo studio della teoria sappiamo che in ogni istante l’energia meccanica totale del sistema è nulla. Dunque, l’energia cinetica e l’energia potenziale gravitazionale sono sempre l’una l’opposta dell’altra. Fatta questa premessa non ci resta altro che impostare l’uguaglianza, sostituire i valori numerici e ottenere infine il risultato. E’ interessante notare come la formula risolutiva che otteniamo sia simile a quella della velocità di fuga. Infatti, quest’ultima è un caso particolare, in cui d = R(Terra). Tutto sommato, si tratta di un quesito abbastanza elementare, anche se è essenziale avere delle conoscenze solide per risolverlo correttamente.
Risoluzione dell’Esercizio:
Dato che in ogni istante l’energia meccanica totale del sistema è nulla (v. parte teorica per maggiori dettagli), l’energia cinetica e l’energia potenziale gravitazionale sono sempre l’una l’opposta dell’altra. Perciò:
$$K=-U$$
da cui:
$$\frac{1}{2}mv_p^2
=
-\left(-G\frac{mM_T}{d}\right)$$
ovvero:
$$v_p
=
\sqrt{
\frac{2GM_T}{d}
}
=$$
$$\sqrt{
\frac{2\times6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times5,972\times10^{24}kg}{1,25\times10^7m}
}$$
$$=
7,98\times10^3\frac{m}{s}$$
NotaBene:
- la distanza $d$ è rispetto al centro della Terra, quindi comprendo anche il raggio
- la formula risolutiva che abbiamo ottenuto è molto simile a quella della velocità di fuga; infatti quest’ultima è un caso particolare in cui $d=R_T$
