Esercizio

MATERIA – FISICA

Due satelliti artificiali vengono messi in orbita

Due satelliti artificiali vengono messi in orbita

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Due satelliti artificiali vengono messi in orbita. Il raggio dell’orbita del satellite più esterno è 4 volte quello dell’orbita del satellite più interno.
1. Quale satellite compie un maggior numero di orbite in un dato intervallo di tempo?
2. Quante orbite completa il satellite più veloce nel tempo in cui il satellite più lento ne compie una?

Introduzione all’Argomento:

La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio abbiamo due satelliti artificiali che vengono messi in orbita. Ipotizziamo innanzitutto che le orbite siano perfettamente circolari. Applichiamo dunque la terza legge di Keplero ai satelliti, così da ottenere una relazione che esprima il periodo di rivoluzione del corpo in funzione del raggio orbitale. Sapendo poi che il raggio dell’orbita più esterna è ben 4 volte maggiore rispetto a quello interno, è facile intuire che il primo impiegherà più tempo a completare un singolo giro. In particolare, dai calcoli otteniamo che il rapporto è di 8:1 giri.

Risoluzione dell’Esercizio:

Dalla terza legge di Keplero applicata ai satelliti, so che:

$$\frac{T^2}{a^3}=\frac{GM_p}{4\pi^2}$$

da cui:

$$T^2=\frac{GM_p}{4\pi^2}a^3$$

ovvero:

$$T=\sqrt{\frac{GM_p}{4\pi^2}a^3}$$

Dunque il periodo di rivoluzione aumenta all’aumentare del semiasse maggiore dell’orbita. Ciò significa che il satellite più esterno ci impiegherà più tempo a compiere un’orbita e quindi quello più interno ne compierà un numero maggiore.
A rafforzare questa tesi vi è anche la formula che esprime la velocità di un satellite, in cui è possibile notare come all’aumentare del raggio, diminuisca la velocità.

In particolare, se supponiamo che le orbite siano perfettamente circolari, possiamo esprimere il periodo di rivoluzione dei due satelliti come:

$$T_{est}=\sqrt{\frac{GM_p}{4\pi^2}(4r)^3}$$

$$T_{int}=\sqrt{\frac{GM_p}{4\pi^2}r^3}$$

Mettendoli in relazione ottengo:

$$\frac{T_{est}}{T_{int}}
=\sqrt{\frac{\frac{GM_p}{4\pi^2}(4r)^3}{\frac{GM_p}{4\pi^2}r^3}}
=$$

$$=\sqrt{4^3}=\sqrt{2^6}=2^3=8$$

Perciò il periodo del satellite esterno è pari a 8 volte il periodo di quello interno, il che significa che quest’ultimo completerà 8 orbite nel tempo in cui il primo ne compierà una.

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