Immagina di atterrare su un pianeta di un
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Immagina di atterrare su un pianeta di un altro sistema solare che abbia la stessa densità della terra, ma raggio 15 volte maggiore. Quale sarebbe il tuo peso rispetto a quello della Terra?
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene presentato il seguente scenario: “Immagina di atterrare su un pianeta di un altro sistema solare”. Sappiamo che ha la medesima densità della Terra e raggio 15 volte maggiore. Possiamo dunque impostare due relazioni che ci consentono di ottenere le grandezze di questo pianeta in funzione di quelle terrestri. Detto ciò, sostituiamo i valori che abbiamo ottenuto nella formula generale della forza-peso. Ricaviamo infine che, sul nuovo pianeta, essa sarà ben 15 volte maggiore.
Risoluzione dell’Esercizio:
So che, in generale, il peso si calcola come:
$$F_{peso}=mg$$
Determino il valore di $g$ sulla Terra applicando la formula:
$$g_{T}=G\frac{M_T}{r_T^2}$$
Calcola ora la massa dell’altro pianeta partendo dalla definizione di densità e supponendo che questi corpi siano perfettamente sferici:
$$d_p=\frac{M_p}{V_p}
=\frac{M_p}{\frac{4}{3}\pi r_p^3}=\frac{3M_p}{4\pi r_p^3}$$
sapendo che $r_p=15r_T$ ottengo che:
$$d_p=\frac{3M_p}{4\pi 15^3r_T^3}$$
Dal testo so che $d_p=d_T$, dunque:
$$\frac{3M_p}{4\pi 15^3r_T^3}
=
\frac{3M_T}{4\pi r_T^3}$$
semplificando:
$$M_p=15^3M_T$$
Determino ora il valore di $g$ sull’altro pianeta:
$$g_p=G\frac{M_p}{r_p^2}=G\frac{15^3M_T}{15^2r_T^2}
=$$
$$=15\left(G\frac{M_T}{r_T^2}\right)
=15g_T$$
Perciò il peso su questo pianeta sarebbe di:
$$F_{peso_{p}}=mg_p=m\times15g_T=$$
$$=15mg_T=15F_{peso_T}$$
Ovvero 15 volte maggiore rispetto a quello sulla Terra.
