Un pianeta di forma sferica ha massa e raggio Mp
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un pianeta di forma sferica ha massa e raggio Mp = 9,686 x 10^24 kg e Rp = 2,546 x 10^6 m, rispettivamente. Inoltre, il periodo di rotazione attorio al proprio asse è Tp = 8,0 x 10^5 s.
1. Trascurando completamente gli attriti, che velocità minima v dovrebbe avere un proiettile di cannone per effettuare un giro attorno al pianeta?
2. Calcolare il raggio R dell’orbita per un satellite geostazionario di massa m = 1000 kg. Scrivere nel risultato il rapporto R/Rp.
3. Calcolare l’energia totale E del satellite.
4. Calcolare con che velocità V casca sulla superficie del pianeta un meteorite proveniente da distanza molto grande con velocità nulla.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo un pianeta di forma sferica che ha massa e raggio, rispettivamente Mp e Rp che gira attorno al proprio asse in un certo intervallo di tempo. Per risolvere il primo punto abbiamo a disposizione due diverse modalità: 1) considerare il proiettile come se fosse un satellite del pianeta che si muove a livello della superficie e applicare la formula; 2) imporre l’uguaglianza tra forza centripeta e forza gravitazionale sul proiettile; per il secondo punto applichiamo invece le formule del moto circolare uniforme ricordando che i satelliti geostazionari, in quanto tali, hanno un periodo di rivoluzione che coincide con quello di rotazione del pianeta; per il terzo punto andiamo a determinare l’energia totale come somma di cinetica e potenziale gravitazionale, mentre per il quarto e ultimo punto è sufficiente imporre il principio di conservazione dell’energia meccanica per un corpo che, a distanza infinita, ha energia cinetica e potenziale che tendono a zero.
Risoluzione dell’Esercizio:
1. La condizione richiesta in questo primo punto è che un proiettile di cannone effettui un giro attorno al pianeta. Ciò significa che dobbiamo considerare il proiettile come se fosse un satellite del pianeta che si muove a livello della superficie. Pertanto la velocità minima $v$ che dovrebbe avere è esprimibile tramite la formula che esprime la velocità di un satellite in orbita circolare a una distanza $r=R_p$:
$$v=\sqrt{\frac{GM_p}{R_p}}
=\sqrt
{…
}
=
1,6\times10^4\frac{m}{s}$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
In alternativa si può imporre l’uguaglianza tra forza centripeta e forza gravitazionale esercitata dal pianeta sul proiettile:
$$\frac{mv^2}{R_p}=G\frac{mM_p}{R_p^2}$$
da cui:
$$v=\sqrt{\frac{GM_p}{R_p}}$$
2. I satelliti geostazionari hanno un periodo di rivoluzione dell’orbita che è pari a quello dei rotazione del pianeta attorno al proprio asse. Sapendo a quanto ammonta la velocità $v$ (v. punto 1) e sfruttando le proprietà del moto circolare uniforme:
$$v=\sqrt{\frac{GM_p}{R}},(1)$$
ma anche:
$$v=\frac{2\pi R}{T_p}$$
dunque eguagliando i secondi membri ed elevando al quadrato:
$$\frac{GM_p}{R}=\frac{4\pi^2 R^2}{T_p^2}$$
da cui:
$$R^3=\frac{GM_pT_p^2}{4\pi^2}$$
ovvero:
$$R=\sqrt[3]{\frac{GM_pT_p^2}{4\pi^2}}
=
\sqrt[3]{…}=3,24\times10^{12}m$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Si può notare come la massa del satellite non influisca sul raggio della sua orbita.
Esprimendo il risultato come rapporto:
$$\frac{R}{R_p}=\sqrt[3]{\frac{GM_pT_p^2}{4\pi^2}}\times\frac{1}{R_p}
=
\sqrt[3]{\frac{GM_pT_p^2}{4\pi^2R_p^3}}$$
3. Il satellite si trova ad una certa distanza $R$ dal centro del pianeta (raggio dell’orbita) e si muove con una certa velocità $v$. Ciò significa che esso è dotato sia di energia cinetica sia di energia potenziale gravitazionale. Dunque l’energia totale sarà data da:
$$E=K+U=\frac{1}{2}mv^2-G\frac{mM_p}{R}$$
sostituendo la $(1)$:
$$E=\frac{1}{2}G\frac{mM_p}{R}-G\frac{mM_p}{R}
=$$
$$=-\frac{1}{2}G\frac{mM_p}{R}=-\frac{GmM_p}{2R}
=$$
$$=-\frac{6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times1000kg\times}{2\times3,24\times10^{12}m}$$
$$\frac{\times9,686\times10^{24}kg}{…}=-9,98\times10^4J$$
4. Dallo studio della teoria so che, nelle condizioni descritte al quarto punto (a distanza infinita energia cinetica e potenziale tendono a 0), l’energia meccanica si conserva, pertanto è necessario che energia cinetica e potenziale gravitazionale siano “uguali e opposte”:
$$K=-U$$
da cui:
$$\frac{1}{2}mV^2=G\frac{mM_p}{R_p}$$
ovvero:
$$V=\sqrt{
\frac{2GM_p}{R_p}
}
=\sqrt{…}
=2,25\times10^4\frac{m}{s}$$
E’ interessante notare la seguente relazione:
$$V=\sqrt{
\frac{2GM_p}{R_p}
}
=\sqrt{2}\times\sqrt{
\frac{GM_p}{R_p}
}
=\sqrt{2}v$$
