Due asteroidi con densità ρ = 2.515 g/cm3
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Due asteroidi con densità ρ = 2.515 g/cm3 e raggio R = 10 km, si trovano molto distanti fra loro e precipitano uno sull’altro per effetto dell’attrazione gravitazionale.
1. Calcola il modulo della velocità v di uno dei due asteroidi al momento dell’impatto.
2. Calcola l’accelerazione a di un asteroide al momento dell’impatto.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono due asteroidi con densità ρ = 2,515 g/cm3 e raggio R. Assimilando i due corpi a delle sfere è possibile determinare il valore della massa in funzione del raggio R e della densità. A questo punto è possibile imporre il principio di conservazione dell’energia meccanica e determinare così la formula che ci permette di calcolare il valore numerico della velocità. Fatto ciò basterà applicare il secondo principio della dinamica (o di Newton) per ottenere l’accelerazione.
Risoluzione dell’Esercizio:
Assimiliamo i due asteroidi a due sfere perfette.
Determino il valore della massa dei due asteroidi:
$$m=\rho V=\rho\frac{4}{3}\pi R^3,(1)$$
Trovandosi a grande distanza l’uno dall’altro, i due copri hanno energia potenziale ed energia cinetica tendenti a 0. Perciò, per il teorema della conservazione dell’energia meccanica, è possibile imporre che, al momento dell’impatto:
$$K_1+K_2+U=0$$
Dato che i due asteroidi sono pressoché identici, avremo che:
$$\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}mv^2+\left(-G\frac{m^2}{d}\right)=0$$
Nel momento dell’impatto la distanza $d$ corrisponde alla distanza tra i due centri, perciò: $d=2R$.
Quindi:
$$mv^2-G\frac{m^2}{2R}=0$$
$$v=
\sqrt{
\frac{Gm}{2R}
}$$
sostituendo la $(1)$ ottengo:
$$v=\sqrt{
\frac{4G\rho\pi R^3}{2\times3R}
}=\sqrt{
\frac{2G\rho\pi R^2}{3}
}
=$$
$$R\sqrt{\frac{2\pi}{3}G\rho}
=10^4m\times\sqrt{…}
=5,93\frac{m}{s}$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Mantenendo le considerazioni fatte finora e applicando il secondo principio della dinamica, posso calcolare l’accelerazione:
$$a=\frac{F}{m}=\frac{G\frac{m^2}{(2R)^2}}{m}
=
G\frac{m}{4R^2}=G\frac{4\rho\pi R^3}{3\times4R^2}$$
$$=G\frac{\rho\pi R}{3}
=
\frac{\pi}{3}G\rho R
=\frac{\pi}{3}\times6,67\times$$
$$\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times2515\frac{kg}{m^3}\times10^4m
=$$
$$=1,76\times10^{-3}\frac{m}{s^2}$$
