Due satelliti descrivono orbite approssimativamente
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Due satelliti descrivono orbite approssimativamente circolari attorno alla Terra. Per completare una rivoluzione, il satellite A impiega un tempo triplo rispetto al satellite B. Calcola il rapporto fra i raggi delle orbite del satellite A e del satellite B.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono due satelliti che descrivono orbite approssimativamente circolari attorno alla Terra. Dalla terza legge di Keplero sappiamo che il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore e il quadrato del periodo di rivoluzione è costante. Possiamo dunque imporre l’uguaglianza tra le grandezze dei due satelliti ottenendo così la formula che risolve il problema. Fatto ciò, basterà esplicitare il rapporto tra i due raggi, sostituire i valori numerici e calcolare così il risultato richiesto.
Risoluzione dell’Esercizio:
La terza legge di Keplero afferma che:
$$\frac{a^3}{T^2}=K$$
Dal momento che le orbite dei due satelliti sono approssimativamente circolari posso quindi scrivere che:
$$\frac{r_A^3}{T_A^2}=\frac{r_B^3}{T_B^2}$$
sostituendo la relazione presente tra i periodi:
$$\frac{r_A^3}{(3T_B)^2}=\frac{r_B^3}{T_B^2}$$
semplificando $T_B$ ed esplicitando il rapporto ottengo che:
$$\frac{r_A}{r_B}
=
\sqrt[3]{9}
=2,08$$
