Esercizio

MATERIA – FISICA

La figura rappresenta due blocchi appesi

La figura rappresenta due blocchi appesi

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

La figura rappresenta due blocchi appesi a una carrucola per mezzo di una fune di massa trascurabile. La carrucola può essere considerata come un disco pieno, rigido e di materiale omogeneo. L’accelerazione verso il basso del blocco di 44,0 kg è la metà dell’accelerazione di gravità. Osservando che la tensione della fune non è uguale nelle parti di fune che sostengono i due blocchi, calcola la massa della carrucola.

Introduzione all’Argomento:

La quantità di moto di un corpo è una grandezza vettoriale (dotata quindi di direzione, verso e modulo) che, per definizione, è data dal prodotto tra la massa e la velocità del corpo stesso. In un qualsiasi sistema di riferimento inerziale (dove vale cioè il principio di inerzia), essa è una grandezza fisica conservativa. Riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendo di determinare il vettore velocità dei corpi dopo l’urto (direzione, verso e modulo), e nello studio del momento angolare (o momento della quantità di moto).

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio ci viene presentata la seguente situazione: “La figura rappresenta due blocchi appesi a una carrucola per mezzo di una fune di massa trascurabile”. La prima parte del quesito prevede la determinazione dei valori che la tensione assume nei due tratti di fune tramite l’applicazione del secondo principio della dinamica Newtoniana. La seconda parte consiste invece nel calcolare il momento totale delle forze che agiscono sulla carrucola e applica il secondo principio della dinamica rotazionale. Ottenuta la formula risolutiva, basterà esplicitare la massa della carrucola, sostituire i valori numerici e ottenere così il risultato richiesto.

Risoluzione dell’Esercizio:

Dal testo so che il sistema non è in equilibrio, bensì si muove con un’accelerazione pari a metà accelerazione di gravità dalla parte del secondo blocco.

Analizzo le forze che agiscono su quest’ultimo applicando il secondo principio della dinamica:

$$F_{p_2}-T_2=m_2a$$

da cui:

$$m_2g-T_2=m_2\frac{g}{2}$$

ovvero:

$$T_2=m_2(g-\frac{g}{2})=m_2\frac{g}{2}$$

Analogamente:

$$T_1-F_{p_1}=m_1a$$

da cui:

$$T_1-m_1g=m_1\frac{g}{2}$$

ovvero:

$$T_1=m_1g+m_1\frac{g}{2}=m_1\frac{3}{2}g$$

Rappresento graficamente le forze che agiscono sulla carrucola e che presentano una certa rilevanza nel calcolo del momento totale:

Calcolo ora il momento totale (avendo verso opposto li sottraggo):

$$M_{tot}=M_{T_2}-M_{T_1}=T_2r-T_1r=r(T_2-T_1)$$

Sostituendo i valori precedentemente trovati:

$$M_{tot}
=
r(T_2-T_1)
=
r(m_2\frac{g}{2}-m_1\frac{3}{2}g)$$

da cui:

$$M_{tot}=r\frac{g}{2}(m_2-3m_1)$$

Ricordando che posso esprimere l’accelerazione rotazionale in funzione del raggio:

$$a=\alpha r$$

da cui:

$$\alpha = \frac{a}{r}$$

Posso dunque applicare il secondo principio della dinamica rotazionale:

$$M_{tot}=I\alpha$$

sostituendo i valori (essendo la carrucola un disco pieno $I=\frac{1}{2}m_{carrucola}r^2$) ottengo:

$$r\frac{g}{2}(m_2-3m_1)
=
\frac{1}{2}m_{carrucola}r^2\frac{a}{r}$$

semplificando alcuni termini e ricordando che $a=\frac{g}{2}$:

$$m_{carrucola}=2(m_2-3m_1)=$$

$$=2(44-3\times11)kg=22kg$$

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