Una pallina di mercurio cade in un fluido il cui
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una pallina di mercurio cade in un fluido il cui coefficiente di viscosità vale 1,55 x 10^-3 Pa · s e raggiunge la velocità limite di 1,0 cm/s. La densità del mercurio è 13,6 x 10^3 kg/m3. La spinta di Archimede del fluido è trascurabile. Calcola il raggio della pallina.
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una pallina di mercurio che cade in fluido il cui coefficiente di viscosità è noto. Conoscendo la formula della velocità limite e sapendo che è possibile esprimere la massa in funzione del raggio, è possibile instaurare una relazione dalla quale esplicitare il raggio stesso. Fatto ciò, non dovremo fare altro che sostituire i valori numerici, fare i calcoli e ottenere così il risultato richiesto.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino il raggio della pallina partendo dalla formula che esprime il valore della velocità limite di un corpo che si muove in un fluido quando la spinta di Archimede è trascurabile:
$$v_l=\frac{m_pg}{6\pi\eta r},(1)$$
Dal momento che non so quanto vale la massa, provo a esprimerla in funzione del raggio della pallina partendo dalla definizione di densità:
$$d_{merc}=\frac{m_p}{V_p}$$
da cui:
$$m=d_{merc}V_p=d_{merc}\frac{4}{3}\pi r_p^3$$
Sostituendo quanto appena trovato nella $(1)$ ottengo:
$$v_l=\frac{d_{merc}\frac{4}{3}\pi r_p^3g}{6\pi\eta r}$$
da cui:
$$r=\sqrt
{
\frac{9\eta v_l}{2d_{merc}g}
}
=
\sqrt{…
}
=
2,3\times10^{-5}m$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)