Un tubo di diametro interno 2.5 cm porta
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un tubo di diametro interno 2.5 cm porta l’acqua, proveniente dal livello stradale, in una abitazione alla pressione di 1,9 bar (1 bar = 10^5 Pa). Se si apre il rubinetto di diametro 1,3 cm al primo piano, posto a 3,5 m dal piano stradale, l’acqua impiega 28 s per riempire una caraffa da un litro.
1. Calcola la velocità dell’acqua durante il riempimento della caraffa sia nel rubinetto che nel tubo al livello stradale.
2. Calcola la pressione dell’acqua al primo piano
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un tubo di diametro interno 2.5 cm che porta l’acqua dal livello stradale a un’abitazione. Per prima cosa determiniamo il valore della portata del rubinetto applicandone la definizione. A questo punto, esplicitiamo la velocità dell’acqua nel rubinetto partendo dalla formula che la mette in relazione con la portata stessa. Sfruttando l’equazione di continuità è poi immediato il calcolo della velocità dell’acqua nel tubo a livello stradale. Possiamo infine determinare la pressione del rubinetto utilizzando l’equazione di Bernoulli e sostituendo i valori numerici di cui disponiamo.
Risoluzione dell’Esercizio:
Dal testo so che sono necessari 28 s per riempire d’acqua una caraffa di un litro (ovvero $1L=1dm^3=1\times10^{-3}m^3$); posso dunque determinare la portata del rubinetto:
$$q_r=\frac{\Delta V}{\Delta t}=$$
$$=\frac{1\times10^{-3}m^3}{28s}=3,57\times10^{-5}\frac{m^3}{s}$$
Determino ora la velocità dell’acqua nel rubinetto partendo dall’altra formula che esprime la portata $\left(r_r=\frac{d_r}{2}=6,5\times10^{-3}m\right)$:
$$q=Sv=\pi r^2v$$
da cui:
$$v_r=\frac{q_r}{\pi r_r^2}=\frac{3,57\times10^{-5}\frac{m^3}{s}}{\pi (6,5\times10^{-3}m)^2}
=0,27\frac{m}{s}$$
Calcolo la velocità dell’acqua nel tubo al livello stradale applicando l’equazione di continuità $\left(r_t=\frac{d_t}{2}=1,25\times10^{-2}m\right)$:
$$\pi r_t^2v_t=\pi r_r^2v_r$$
da cui:
$$v_t=\frac{r_r^2}{r_t^2}v_r
=
\frac{(6,5\times10^{-3}m)^2}{(1,25\times10^{-2}m)^2}\times$$
$$\times0,27\frac{m}{s}
=7,3\times10^{-2}\frac{m}{s}$$
Converto la pressione delle tubazioni stradali in Pascal:
$$1,9bar=1,9\times10^5Pa$$
Determino infine la pressione dell’acqua al primo piano applicando l’equazione di Bernoulli:
$$p_t+\frac{1}{2}dv_t^2=p_r+\frac{1}{2}dv_r^2+dgy_r$$
da cui:
$$p_r
=
p_t+\frac{1}{2}dv_t^2-\frac{1}{2}dv_r^2-dgy_r
=
p_t+$$
$$+\frac{1}{2}d(v_t^2-v_r^2)-dgy_r
=1,9\times10^5Pa
+$$
$$+
\frac{1}{2}\times1000\frac{kg}{m^3}\times\left(0,073^2-0,27^2\right)\frac{m^2}{s^2}-$$
$$1000\frac{kg}{m^2}\times9,8\frac{m}{s^2}\times3,5m
\approx
1,6\times10^5Pa$$
