Il foro di uscita di un abbeveratoio è collegato a
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Il foro di uscita di un abbeveratoio è collegato a un corto tubo che è inclinato verso l’alto di 30° rispetto all’orizzontale. Il foro si trova 59 cm al di sopra del suolo e il getto d’acqua che esce dal tubo arriva a terra dopo avere percorso una distanza in orizzontale pari a 96 cm. Qual è il dislivello verticale tra il foro di uscita e il livello libero dell’acqua nell’abbeveratoio?
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è il foro di uscita di un abbeveratoio che è collegato a un tubo inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Ne segue che, uscendo dal foro, l’acqua si muove di moto parabolico con velocità iniziale inclinata di 30° rispetto all’orizzontale. Ricordando i teoremi dei triangoli rettangoli (seno, coseno e tangente) e facendo mente locale sulle equazioni dei moti, possiamo facilmente calcolare il modulo della velocità di fuoriuscita dell’acqua. Fatto ciò, applichiamo la legge di Torricelli. Infine, tramite opportuni passaggi matematici, otteniamo il valore del dislivello verticale tra il foro di uscita e il livello libero dell’acqua nell’abbeveratoio.
Risoluzione dell’Esercizio:
Uscendo dal foro, l’acqua si muove di moto parabolico con velocità iniziale inclinata di 30° rispetto all’orizzontale. Ciò significa che orizzontalmente il moto, rettilineo uniforme, è descritto da:
$$x=v_{0_x}t=(v_0\cos\alpha) t,(1)$$
Verticalmente, invece, abbiamo un moto rettilineo uniformemente accelerato:
$$y=y_0+v_{0_y}t-\frac{1}{2}gt^2
=$$
$$=y_0+(v_0\sin\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2, (2)$$
Esplicito il valore di $v_0$ dalla $(1)$:
$$v_0
=
\frac{x}{t\cos\alpha}, (3)$$
E lo sostituisco nella $(2)$:
$$y
=
y_0+\left(\frac{x}{t\cos\alpha}\sin\alpha\right)t-\frac{1}{2}gt^2
=$$
$$=y_0+x\tan\alpha-\frac{1}{2}gt^2$$
Nell’istante finale $t_f$ , l’acqua si trova a una distanza $x=0,96m$ e $y=0$, dunque:
$$0=0,59m+$$
$$+0,96m\tan30^\circ-\frac{1}{2}\times9,8\frac{m}{s^2}t_f^2$$
da cui:
$$4,9\frac{m}{s^2}t_f^2
=
0,59m+0,96m\tan30^\circ$$
ovvero:
$$t_f=0,48s$$
(escludiamo la soluzione con segno negativo)
Sostituendo il valore appena trovata nella $(3)$, ottengo che:
$$v_0=\frac{x_f}{t_f\cos\alpha}=\frac{0,96m}{0,48s\cos30^\circ}=2,31\frac{m}{s}$$
Ciò significa che l’acqua esce dal foro con una velocità pari a $v_0=2,31\frac{m}{s}$ . Posso dunque determinare il dislivello verticale richiesto dall’esercizio partendo dalla legge di Torricelli:
$$v_0=\sqrt{2gh}$$
da cui:
$$h=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{\left(2,31\frac{m}{s}\right)^2}{2\times9,8\frac{m}{s^2}}
=
0,27m$$
