Un chicco di grandine di raggio r = 0.16 cm
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un chicco di grandine di raggio r = 0.16 cm e densità pari a 0,40 g/cm3 cade da una nuvola in regime laminare. Oltre alla forza di attrito, sul chicco agisce anche una forza dovuta alle correnti ascensionali pari a 5,6 x 10^-5 N. Determina la velocità limite del chicco di grandine (supponi che il volume di ghiaccio rimanga inalterato durante la caduta).
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un chicco di grandine di raggio r = 0,16 cm che cade da una nuvola. Essendo in regime laminare, sappiamo che, una volta raggiunta la velocità limite, la risultante delle forze che agiscono su di esso è pari a zero. Imponiamo dunque questa condizione andando a sottrarre alla forza peso la forza di attrito viscoso generata dall’aria e la forza dovuta alle correnti ascensionali. Dall’equazione che ne risulta esplicitiamo la velocità limite (grandezza di cui dobbiamo trovare il modulo). A questo punto non ci resta altro da fare che sostituire i valori numerici, fare i calcoli e ottenere il risultato.
Risoluzione dell’Esercizio:
So che il flusso del chicco è laminare.
Sul chicco agiscono tre forze, il peso, la forza di attrito viscoso e e la forza dovuta alle correnti ascensionali. Raggiunta la velocità limite, significa che la risultante di queste tre forze è pari a 0, ovvero:
$$F_{tot}=F_p-F_v-F_{correnti}=0$$
da cui:
$$F_p=F_v+F$$
Esplicitando le formule ottengo:
$$mg=6\pi\eta rv_l-F$$
scrivendo la massa in funzione del volume:
$$dVg=6\pi\eta rv_l-F$$
ovvero:
$$d\frac{4}{3}\pi r^3g=6\pi\eta rv_l-F$$
esplicitando la velocità limite:
$$v_l
=\frac
{d\frac{4}{3}\pi r^3g-F}
{6\pi\eta r}=$$
$$=\frac
{400\frac{kg}{m^3} \times \frac{4}{3}\pi \times (0,16\times10^{-2}m)^3 \times}
{6\pi \times 17,1\times10^{-6}Pa\cdot s\times0,16\times10^{-2}m}$$
$$\frac{\times 9,8\frac{m}{s^2}-5,6\times10^{-5}N}{…}
=
22\frac{m}{s}$$
NB: il coefficiente di viscosità dell’aria è pari a: $\eta_{aria}=17,1\times10^{-6}Pa\cdot s$
