Una pompa immette acqua in un tubo
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una pompa immette acqua in un tubo circolare di diametro d1 = 3,0 cm. L’acqua scorre dentro il tubo alla velocità 0,50 m/s. Il tubo termina con un erogatore avente diametro d2 = 0,6 cm. La pressione dell’acqua all’uscita dell’erogatore è 1 atm e l’erogatore e la pompa si trovano alla stessa quota. Determinare:
1. La velocità con cui l’acqua esce dall’erogatore;
2. La pressione con la quale la pompa immette l’acqua nel tubo.
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una pompa da cui fluisce dell’acqua. Determiniamo la velocità con cui l’acqua esce dall’erogatore applicando l’equazione di continuità. A questo punto, per calcolare la pressione presente nel primo tratto di tubo è sufficiente applicare l’equazione di Bernoulli, esplicitare la grandezza di nostro interesse e fare i calcoli. E’ importante specificare che la corrente è orizzontale, perciò pompa ed erogatore sono alla medesima altezza (effetto Venturi).
Risoluzione dell’Esercizio:
Converto i dati forniti dal testo in unità di misura utili alla sua risoluzione:
$$P_2=1atm=1,015\times10^5Pa$$
Calcolo ora la velocità con cui l’acqua esce dall’erogatore applicando l’equazione di continuità:
$$S_1v_1=S_2v_2$$
da cui:
$$\pi r_1^2v_1 = \pi r_2^2v_2$$
ovvero:
$$v_2=\frac{r_1^2}{r_2^2}v_1=$$
$$=\frac{(1,5\times10^{-2}m)^2}{(0,3\times10^{-2}m)^2}
\times 0,50 \frac{m}{s}=12,5\frac{m}{s}$$
Dato che la corrente è orizzontale (pompa ed erogatore sono alla medesima altezza), si verifica il cosiddetto effetto Venturi, ovvero vale la seguente relazione:
$$P_1+\frac{1}{2}dv_1^2=P_2+\frac{1}{2}dv_2^2$$
da cui:
$$P_1=P_2+\frac{1}{2}d(v_2^2-v_1^2)=$$
$$=1,015\times10^5Pa+\frac{1}{2}\times1000\frac{kg}{m^3}\times$$
$$\times\left(12,5^2-0,50^2\right)\frac{m}{s}
=1,795\times10^5Pa$$