Esercizio

MATERIA – FISICA

Supponiamo che la proporzionalità tra massa inerziale

Supponiamo che la proporzionalità tra massa inerziale

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Supponiamo che la proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale non valga in modo esatto. Per esempio, ipotizziamo che il rapporto mg/mi tra la massa gravitazionale e quella inerziale valga 1,05 per il ferro e 0,950 per il piombo. Due palline, una di ferro e una di piombo, vengono lasciate cadere da ferme, da un’altezza di 6,5 m. Quale sarebbe, sotto le ipotesi date, la differenza tra i tempi di arrivo al suolo delle due palline? (Per l’accelerazione di gravità «usuale» utilizza il valore g0 = 9,80 m/s2).

Introduzione all’Argomento:

La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio supponiamo che la proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale non valga in modo esatto. Dobbiamo dunque determinare l’accelerazione con cui due palline, una di piombo e una di ferro, cadono a terra da un certa altezza h. Per farlo è sufficiente mettere in relazione le forze che derivano dalle due masse. A questo punto non ci resta altro da fare che determinare le accelerazioni con cui si muovono le due palline e sostituirle nelle formule del moto uniformemente accelerato. Confrontare i tempi di caduta diventa così un gioco da ragazzi.

Risoluzione dell’Esercizio:

So che la massa inerziale è quella massa tale per cui:

$$F=m_ia$$

So invece che la massa gravitazionale dello stesso corpo è quella massa tale per cui:

$$F_p=m_gg$$

Diversamente dal solito, in questo caso $m_i\neq m_g$. Impongo dunque l’uguaglianza tra le due forze per determinare una relazione che mi permetta di esprimere l’accelerazione con cui si muove il corpo:

$$F=F_p$$

da cui:

$$m_ia=m_gg$$

ovvero:

$$a=\frac{m_g}{m_i}g$$

Data questa relazione determino l’accelerazione delle due palline:

$$a_{Pb}=\frac{m_{g_p}}{m_{i_p}}g=0,950\times9,8\frac{m}{s^2}=9,31\frac{m}{s^2}$$

$$a_{Fe}=\frac{m_{g_f}}{m_{i_f}}g=1,05\times9,8\frac{m}{s^2}=10,29\frac{m}{s^2}$$

Dallo studio del moto uniformemente accelerato ricordo che un corpo che cade da fermo da un certa altezza è data da:

$$h=\frac{1}{2}at^2$$

da cui:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{a}}$$

Dunque:

$$\Delta t
=
t_{p}-t_f
=
\sqrt{\frac{2h}{a_{piombo}}}-\sqrt{\frac{2h}{a_{ferro}}}
=$$

$$=
\sqrt{\frac{2\times6,5 m}{9,31\frac{m}{s^2}}}-\sqrt{\frac{2\times6,5 m}{10,29\frac{m}{s^2}}}
=$$

$$=
0,058s
=58ms$$

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