Esercizio

MATERIA – FISICA

Un satellite artificiale ha una massa di 1.10

Un satellite artificiale ha una massa di 1.10

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Un satellite artificiale ha una massa di 1.10 x 10^4 kg ed è stato portato dalla distanza originaria dalla superficie terrestre di 630 km a una distanza maggiore fornendo 1,04 x 10^10 J di energia. Calcola la distanza a cui è stato portato il satellite.1. Applica le trasformazioni di Galileo per la velocità, e imposta la relazione vettoriale che esprime la velocità di S2 rispetto a T.
2. Quanto vale l’angolo di inclinazione delle scale mobili?

Introduzione all’Argomento:

La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è un satellite artificiale che ha una massa di 1.10 x 10^4 kg e si sposta su un’orbita di raggio maggiore. Partendo dal teorema dell’energia cinetica, esprimiamo l’energia cinetica in funzione dell’energia potenziale. In questo modo otteniamo infatti una relazione, da cui è possibile esplicitare la nuova distanza. Dopo averla calcolata, procediamo dunque per sottrazione e otteniamo così l’altezza finale del satellite artificiale rispetto alla superficie terrestre. Si tratta quindi di un normale applicazione della relazione che intercorre tra lavoro – energia cinetica ed energia potenziale. Insomma, nulla di troppo complicato. Ciò non significa però che possiamo sottovalutarne l’importanza. Il quesito costituisce infatti un ottimo banco di prova, in cui testare le proprie abilità.

Risoluzione dell’Esercizio:

So che l’energia che viene fornita è quella necessaria per equilibrare lo scompenso energetico che vi è nello spostamento da un’orbita più interna a una più esterna (è il valore assoluto del lavoro: $W=-1,04\times10^{10}J$).
Per il teorema dell’energia cinetica so che:

$$W=\Delta K=K_f-K_0=-1,04\times10^{10}J$$

So che la velocità di un satellite ad una certa distanza dal centro della Terra è data da:

$$v=\sqrt{\frac{GM_T}{r}}$$

Dunque:

$$K=\frac{1}{2}mv^2
=
\frac{1}{2}\frac{GM_Tm}{r}=-\frac{1}{2}U$$

Posso dunque riscrivere la relazione come:

$$-\frac{U_f}{2}+\frac{U_0}{2}=-1,04\times10^{10}J$$

ovvero:

$$-\left(-G\frac{mM_T}{2(r_T+h_f)}\right)
+
\left(-G\frac{mM_T}{2(r_T+h_0)}\right)$$

$$=-1,04\times10^{10}J$$

raccogliendo:

$$\frac{GmM_T}{2}\left(\frac{1}{r_T+h_f}-\frac{1}{r_T+h_0}\right)$$

$$=-1,04\times10^{10}J$$

esplicitando e facendo i calcoli (riportati sul file PDF allegato):

$$\frac{1}{r_T+h_f}
=1,3809\times10^{-7}m^{-1}$$

Calcolo l’altezza finale rispetto alla superficie facendo l’inverso del risultato appena ottenuto e sottraendo il raggio terrestre:

$$h_f
=
\left(1,3809\times10^{-7}m^{-1}\right)^{-1}-6371\times$$

$$\times10^3m
=871\times10^3m=871km$$

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