Un satellite di massa 9.8 x 10^3 kg
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un satellite di massa 9.8 x 10^3 kg percorre un’orbita circolare a un’altezza di 480 km rispetto alla superficie terrestre, ma lo si deve portare su un’orbita circolare, alla quota di 910 km rispetto al suolo. Calcola quanta energia serve per portare a termine questa operazione. Considera costante la massa del satellite.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un satellite di massa 9.8 x 10^3 kg che percorre un’orbita ad una certa altezza rispetto alla superficie terrestre. La prima cosa da fare è determinare le energie potenziali gravitazionali del satellite alle due diverse altezze. Dopo aver fatto ciò, procediamo a calcolare l’energia cinetica iniziale e quella finale rifacendoci alle formule che abbiamo dimostrato qui (https://schout.it/2022/04/04/considera-un-satellite-di-massa-m-che/ e https://schout.it/2022/04/04/un-pianeta-di-massa-m-esegue ). Determiniamo infine il lavoro compiuto per spostare il satellite applicando il teorema dell’energia cinetica. Si tratta dunque di un esercizio completo, che richiama alcuni argomenti già trattati in precedenza.
Risoluzione dell’Esercizio:
Per la risoluzione di questo esercizio mi rifaccio a delle formule particolari che sono state dimostrate nei seguenti esercizi:
$E_{tot}=-K$ e $U=-2K$
trovi le dimostrazioni su https://schout.it/2022/04/04/considera-un-satellite-di-massa-m-che/
$$E_{tot}=-\frac{GmM}{2a}$$
trovi la dimostrazione su https://schout.it/2022/04/04/un-pianeta-di-massa-m-esegue/
RISOLUZIONE
Determino innanzitutto le energie potenziali iniziali e finali del satellite applicando la formula classica:
$$U_f=-G\frac{mM_T}{r_T+h_f}
=
-6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}
\times$$
$$\times\frac{9,8\times10^3kg\times5,972\times10^{24}kg}{(6371+910)\times10^3m}
=$$
$$=
-5,36\times10^{11}J$$
$$U_0=-G\frac{mM_T}{r_T+h_0}
=
-6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}
\times$$
$$\times
\frac{9,8\times10^3kg\times5,972\times10^{24}kg}{(6371+480)\times10^3m}
=$$
$$=-5,69\times10^{11}J$$
Sapendo che:
$$U=-2K$$
da cui:
$$K=-\frac{U}{2}$$
Posso calcolare l’energia cinetica iniziale e finale:
$$K_0=-\frac{U_0}{2}=$$
$$=-\frac{-5,69\times10^{11}J}{2}=2,85\times10^{11}J$$
$$K_f=-\frac{U_f}{2}=$$
$$=-\frac{-5,36\times10^{11}J}{2}=2,68\times10^{11}J$$
In alternativa posso determinare la velocità del satellite in base alla distanza dal centro della Terra $\left(
v=\sqrt{\frac{GM_T}{r_T+h}}
\right)$ e calcolare poi l’energia cinetica applicando la definizione.
Dunque, per il teorema dell’energia cinetica, per spostare il satellite verso un’orbita di raggio superiore viene effettuato un lavoro di:
$$W=\Delta K=K_f-K_0=$$
$$=(2,68-2,85)\times10^{11}J
=-1,7\times10^{10}J$$
Ciò significa che serve un totale di $1,7\times10^{10}J$ di energia per portare a termine questa operazione.
