Il pilota di un aereo passa da quota 11000 m
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Il pilota di un aereo passa da quota 11000 m a quota 10100 m per evitare una turbolenza. La massa dell’aereo è 7,0 x 10^4 kg.
1. Calcola il lavoro compiuto sull’aereo dalla forza gravitazionale terrestre.
2. E’ accettabile, in questo caso, approssimare la forza gravitazionale con la forza-peso che agisce sull’aereo a terra?
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio il pilota di un aereo passa da una quota di 11000 m a una di 10100 m per evitare una turbolenza. Conosciamo la formula che esprime il valore dell’energia potenziale di un corpo in base all’altezza a cui si trova. Possiamo dunque calcolarne la variazione. A questo punto, trovare il valore del lavoro compiuto sull’aereo dall’energia potenziale gravitazionale diventa un gioco da ragazzi, in quanto sappiamo che esso è pari all’opposto della variazione appena calcolata. Essendo le quote considerate molto più piccole rispetto al raggio terrestre, possiamo poi affermare che, approssimando la forza gravitazionale con la forza peso che agisce sul velivolo a terra, il risultato rimarrebbe coerente.
Risoluzione dell’Esercizio:
Sapendo che, in generale, l’energia potenziale gravitazionale di un aereo rispetto alla Terra è data dalla seguente formula:
$$U=-G\frac{mM_T}{r}$$
Posso scrivere la variazione di energia potenziale gravitazionale come:
$$\Delta U = U_f-U_0
=$$
$$=
-G\frac{mM_T}{r_T+h_f}
–
\left(-G\frac{mM_T}{r_T+h_0}\right)
=$$
$$=
-G{mM_T}\left(\frac{1}{r_T+h_f}-\frac{1}{r_
T+h_0}\right)=$$
$$=…=-6,2\times10^8J$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Sapendo che il lavoro è opposto alla variazione di energia potenziale, ho che:
$$W=-\Delta U=$$
$$=-(-6,2\times10^8J)=6,2\times10^8J$$
Se approssimassi la forza gravitazionale con la forza-peso che agisce sull’aereo a Terra avrei che:
$$\Delta U=mg\Delta h
=7,0\times10^4kg\times9,8\frac{m}{s^2}\times$$
$$\times(10,1-11)\times10^3m
=
-6,2\times10^8J$$
Questa approssimazione è dunque accettabile, in quanto le altezze a cui si trova l’aereo sono molto più piccole rispetto al raggio terrestre.
