In una lontana zona della nostra Galassia un esopianeta
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
In una lontana zona della nostra Galassia un esopianeta di massa m = 5,71 x 10^24 kg descrive un’orbita ellittica attorno a una stella di massa M = 3,18 x 10^33 kg. L’eccentricità dell’orbita vale 0,368 e il suo semiasse maggiore misura 2,31 x 10^12 m. A è il punto di apoastro (massima distanza dalla stella), P è il punto di peraltro (minima distanza tra stella e pianeta) e B è uno dei due estremi del semiasse minore.
1. Determina la velocità del pianeta quando esso si trova nei punti A, P e B.
2. Verifica che, nei tre punti, il momento angolare del pianeta rispetto alla stella ha sempre lo stesso valore.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci troviamo in una lontana zona della nostra Galassia. Qui, un esopianeta di massa m descrive un’orbita ellittica attorno a una stella di massa M. Conosciamo il valore dell’eccentricità dell’ellisse. Determiniamo dunque tutte le grandezze relative alla figura, quali semiasse minore, distanza focale, … A questo punto, calcoliamo le distanze dei tre punti indicati nel testo dalla stella. Procediamo poi ad esprimere l’energia cinetica in relazione all’energia meccanica (facciamo riferimento alla formula dimostrata qui: https://schout.it/2022/04/04/un-pianeta-di-massa-m-esegue/ ). Esplicitata la velocità, non ci resta altro da fare se non sostituire i valori numerici relativi al punto A, al punto B e al punto P. Infine verifichiamo la legge di conservazione del momento angolare calcolandolo in tutti e tre i punti (otterremo lo stesso identico risultato in A, B e P).
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la distanza focale partendo dalla definizione di eccentricità:
$$e=\frac{c}{a}$$
da cui:
$$c=ea=$$
$$=0,368\times2,31\times10^{12}m
=8,50\times10^{11}m$$
Determino ora la lunghezza del semiasse minore:
$$a^2-b^2=c^2$$
da cui:
$$b=\sqrt{a^2-c^2}=$$
$$=
\sqrt{(2,31\times10^{12}m)^2-(8,50\times10^{11}m)^2}
=$$
$$=
2,15\times10^{12}m$$
Calcolo le distanze dei tre punti dalla stella:
$$r_A=a+c=(2,31\times10^{12}+8,50\times$$
$$\times10^{11})m
=3,16\times10^{12}m$$
$$r_B=\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{a^2}=a=2,31\times10^{12}m$$
$$r_P=a-c=(2,31\times10^{12}-8,50\times$$
$$\times10^{11})m
=1,46\times10^{12}m$$
Essendo in un’orbita ellittica, l’energia totale del sistema è data dalla seguente formula:
$$E_{tot}=-G\frac{mM}{2a}$$
(v. https://schout.it/2022/04/04/un-pianeta-di-massa-m-esegue/ )
Posso dunque esprimere l’energia cinetica come:
$$K=E_{tot}-U$$
in esteso:
$$\frac{1}{2}mv^2
=
-G\frac{mM}{2a}
+
G\frac{mM}{r}$$
da cui:
$$v=\sqrt{2GM\left(-\frac{1}{2a}+\frac{1}{r}\right)}$$
Dunque, in apoastro (A):
$$v_A=\sqrt{2GM\left(-\frac{1}{2a}+\frac{1}{r_A}\right)}
=$$
$$=\sqrt{…}=2,06\times10^5\frac{m}{s}$$
(i calcoli non sono riportati per motivi di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
In B:
$$v_B=\sqrt{2GM\left(-\frac{1}{2a}+\frac{1}{r_B}\right)}
=$$
$$=\sqrt{…}=3,03\times10^5\frac{m}{s}$$
(i calcoli non sono riportati per motivi di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
In periastro (P):
$$v_P=\sqrt{2GM\left(-\frac{1}{2a}+\frac{1}{r_P}\right)}
=$$
$$=\sqrt{…}=4,46\times10^5\frac{m}{s}$$
(i calcoli non sono riportati per motivi di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Determino ora l’angolo che c’è tra il raggio vettore e la velocità in B applicando i teoremi dei triangoli rettangoli (v. Figura iniziale: a noi interessa l’angolo $\theta$):
$$\tan\theta
=
\frac{b}{c}$$
da cui:
$$\theta
=
\tan^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)
=$$
$$=
\tan^{-1}\left(\frac{2,15\times10^{12}m}{8,50\times10^{11}m}\right)
=68,42^\circ$$
Calcolo infine i momenti angolari del pianeta rispetto alla stella nei tre punti ricordando che, in generale, vale:
$$L=rp\sin\alpha=mrv\sin\alpha$$
Dunque:
$$L_A=mr_Av_A\sin90^\circ=mr_Av_A=$$
$$=5,71\times10^{24}kg\times3,16\times10^{12}m\times2,06\times$$
$$\times10^5\frac{m}{s}
=3,72\times10^{42}kg\cdot \frac{m^2}{s}$$
$$L_B=mr_Bv_B\sin68,42^\circ=5,71\times10^{24}kg\times$$
$$\times2,31\times10^{12}m\times3,03\times10^5\frac{m}{s}
\times$$
$$\times\sin68,42^\circ=3,72\times10^{42}kg\cdot \frac{m^2}{s}$$
$$L_P=mr_Pv_P\sin90^\circ=mr_Pv_P=5,71\times$$
$$\times10^{24}kg\times1,46\times10^{12}m\times4,46\times$$
$$\times10^5\frac{m}{s}
=3,72\times10^{42}kg\cdot \frac{m^2}{s}$$
Ho quindi verificato che, nei tre punti, il momento angolare del pianeta rispetto alla stella ha sempre lo stesso valore.
