Esercizio

MATERIA – FISICA

La distanza tra Marte e il Sole nel punto di afelio

La distanza tra Marte e il Sole nel punto di afelio

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

La distanza tra Marte e il Sole nel punto di afelio e nel punto di perielio sono rispettivamente di 2,49 x 10^11 m e 2,07 x 10^11 m.
1. Calcola il rapporto tra le velocità del pianeta nei punti di afelio e di perielio.
2. Quando la velocità è maggiore? Perché?

Introduzione all’Argomento:

La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio ci viene detto che la distanza tra Marte e il Sole nel punto di afelio e nel punto di perielio sono rispettivamente di 2,49 x 10^11 m e 2,07 x 10^11 m. Sapendo che la seconda legge di Keplero è una conseguenza della legge di conservazione del momento angolare, eguagliamo il momento angolare di Marte rispetto al Sole all’afelio e al perielio (ricordiamoci che l’angolo tra raggio e quantità di moto è di 90° e quindi sin 90° = 1). A questo punto possiamo esplicitare il rapporto tra le due velocità e osservare che esso è minore di 1. Ciò significa che il numeratore è minore del denominatore e dunque la velocità è maggiore in perielio e minore in afelio.

Risoluzione dell’Esercizio:

Sapendo che la seconda legge di Keplero è una conseguenza della legge di conservazione del momento angolare, eguaglio il momento angolare di Marte rispetto al Sole all’afelio e al perielio (ricordo che $p$ è la quantità di moto e che l’angolo tra raggio e quantità di moto è di 90° e quindi $\sin 90^\circ =1$ ):

$$L_a=L_p$$

da cui:

$$r_ap_a=r_pp_p$$

ovvero:

$$M_Mr_av_a=M_Mr_pv_p$$

semplificando ottengo che il rapporto tra le velocità è pari a:

$$\frac{v_a}{v_p}
=
\frac{r_p}{r_a}
=
\frac{2,07\times10^{11}m}{2,49\times10^{11}m}
=0,831$$

Essendo il rapporto minore di 1, significa che il numeratore è minore del denominatore e dunque la velocità è maggiore in perielio e minore in afelio.

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